МАТЕМАТИКА

матема́тика (грец. μαθηματική, від μάθημα – знання, наука) наука про кількісні співвідношення і просторові форми дійсного світу.

Смотреть больше слов в «Словнику іншомовних слів Мельничука»

МАТЕМАТИЧНИЙ →← МАТЕМАТИЗАЦІЯ

Смотреть что такое МАТЕМАТИКА в других словарях:

МАТЕМАТИКА

Слово "математика" происходит от греческого μάθημα (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом μάθησις, ... смотреть

МАТЕМАТИКА

         I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой.          Математика (греч. mathematike, от máthema — знание, наука), ... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА, -и, ж. Наука, изучающая величины, количественные отношенияи пространственные формы. Высшая м. Прикладная м. II прил. математический,-ая, -ое. Математическая задача. М. ум. (перен.: точный, ясный).... смотреть

МАТЕМАТИКА

математика ж. 1) а) Научная дисциплина о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира. б) Учебный предмет, содержащий теоретические основы данной научной дисциплины. в) разг. Учебник, излагающий содержание данного учебного предмета. 2) перен. разг. Точный, простой расчет.<br><br><br>... смотреть

МАТЕМАТИКА

математика ж.mathematics высшая математика — higher mathematics

МАТЕМАТИКА

математика сущ., кол-во синонимов: 29 • алгебра (3) • аналка (1) • арифметика (5) • вата (9) • вычмат (1) • вышка (23) • вышмат (1) • геометрия (9) • дискран (1) • дискретка (1) • дифгем (1) • дифуры (1) • интуры (1) • ислоп (1) • комбан (1) • комплан (1) • коран (3) • линейка (27) • матика (26) • матлог (1) • матэк (1) • морги (1) • планиметрия (2) • стереометрия (2) • теорвер (1) • топология (1) • урматы (1) • функан (2) • чмо (102) Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин.2013. . Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология... смотреть

МАТЕМАТИКА

Математика — Слово "математика" происходит от греческого μάθημα (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом μάθησις, от глагола μανθάνω, первоначальное значение которого, "учусь через размышление", устанавливало строгое разграничение между выражаемым им понятием и понятием учения путем опыта. М., по обычным, установившимся с давнего времени, взглядам, есть наука о величинах, предмет которой состоит в измерении величин, или, согласно с поправкой, внесенной Огюстом Контом, в непрямом измерении величин. Такое определение если и может считаться удовлетворительным, то только для отдаленного прошлого, когда задачи М. не шли далее практических искусств счета и измерения протяжений. Но уже с IV в. до Р. Х. практическая арифметика, под именем "логистики", и практическая геометрия, в форме землемерия, потеряли почти всякий интерес в глазах математиков древней Греции, и на первый план выдвинулись для них изучение свойств протяжений, или теоретическая геометрия, и в меньшей степени изучение свойств чисел, или, по терминологии нашего времени, теория чисел. По определению Вильгельма Вундта, вполне выражающему современное состояние М., ее предмет состоит в задаче "подвергнуть исчерпывающему свой предмет исследованию мыслимые формы чистого усматривания, так же как и выполнимые, на основании чистого усматривания, формальные построения понятий, в отношении всех их свойств и взаимных отношений". Это определение отвлечено автором от содержания создавшегося в последнее время, под именем учения о многообразиях, или учения о формах (Mannigfaltigkeitslehre Римана, или Formenlehre Германа Грассмана), самого общего математического учения, в отношении которого все отдельные математические науки являются не более как его специальными ветвями. Содержание названного сейчас общего математического учения с полною ясностью раскрывает также и связь, существующую между М. и другими науками. Выражения "многообразие" и "форма" характеризуют это содержание с двух разных сторон, так как указывают на два необходимых условия, которые должны быть выполнены при всяком математическом исследовании, какой бы предмет оно не имело. Первое из этих условий состоит в наличности многообразия объектов мышления, составляющих известную совокупность; второе — в чисто формальном способе обработки, т. е. в таком, который привлекает к рассмотрению не собственные конкретные свойства объектов мышления, а только одни взаимные отношения последних. Область математического исследования становится таким образом чрезвычайно обширной, способной к распространению даже на формальную часть логики, как на удовлетворяющую указанным условиям и потому вполне готовую к принятию форм математического алгоритма. В настоящее время это принятие есть уже совершившийся факт, представляемый недавно созданными трудами Буля, Роберта Грассмана, Шредера и др. логическим исчислением, или алгеброй логики. Если затем принять во внимание, что все доставляемое опытом может быть сведено на отношения многообразных объектов мышления, то становится необходимым заключить, что всякая опытная наука, по самой своей природе, должна быть доступна формальному, или математическому, способу обработки. Степень же приложимости математической обработки предмета зависит исключительно от чисто внешних условий исследования. "Рациональная, или теоретическая, механика", "небесная механика", "математическая физика", попытки создания "математической химии", "теория вероятностей" и "математическая статистика" дают изложенным сейчас абстрактным заключениям фактическое реальное подтверждение. Развитие математики началось с создания практических искусств счета и измерения линий, поверхностей и объемов. Началом этого развития можно считать появление у первобытного человека определенного представления единицы и неопределенного представления множества. Затем все последующее развитие первобытного счисления состояло в последовательном выделении из неопределенного представления множества определенных представлений два, три, четыре и т. д. до пределов, которые определялись у различных народов самыми разнообразными обстоятельствами. Обстоятельством, определившим форму и ход первоначального развития счисления, была коренящаяся в условиях и законах первоначального развития представлений невозможность для первобытного человека в течение значительных промежутков времени отделять числовое представление от конкретного представления содержащей его группы предметов. Счет вначале, вследствие этого обстоятельства, мог быть и был только вещественным. Промежутки времени, необходимые для выделения последовательных числовых представлений, были вообще очень большими, но особенно значительную продолжительность имели они в эпоху развития представлений чисел два, три и четыре. На исключительно большую величину промежутка времени, в продолжение которого выделялось представление числа три, и поэтому вся доступная человечеству область счисления ограничивалась определенными представлениями единицы и два, и неопределенным — множества, указывает факт существования во многих языках двойственного числа. К этому же громадному промежутку времени восходят начало развития счисления дробей и связанное с ним первое образование системы счисления. Первой дробью, с которой познакомилось человечество, была половина. Вслед за ней постепенно выходили на свет сознания и ближайшие к ней другие дроби двоичной системы. Половина какого-нибудь предмета могла быть, в свою очередь, разделена на две полполовины; полполовина — на две полполполовины и т. д. до предела, до которого могли доходить требования практической жизни. Вполне характеристичный пример этого образования дробей двоичной системы представляет древнерусская система земельных мер. Землемерные рукописи и официальные акты по землемерию допетровской эпохи доходили в образовании этих дробей до 8, 9 и даже 10 повторений приставки пол- к слову половина (о дальнейшем развитии счисления дробей см. в статье Дроби). Первоначальное разнообразие групп предметов, заимствуемых человеком из окружающей природы для употребления в качестве орудий и средств счета, сменилось, после выделения представления числа четыре, почти исключительным употреблением группы, представляемой пальцами руки, как ближайшей к человеку и постоянно находящейся в его распоряжении. С этого времени дальнейшее развитие счисления так тесно связалось с развитием уменья пользоваться при счете пальцами, что для словесного выражения вновь выделяемых числовых представлений стали в чрезвычайно широких размерах употребляться названия предметов и действий пальцевого счета. После выделения представления числа 5 дальнейшее развитие счисления встретило важное затруднение, состоявшее в невозможности, при выделении следующего числового представления шесть, пользоваться пальцами одной руки, как уже занятыми выражением числа 5. Наблюдения над пальцевым счетом современных дикарей обнаруживают существование и размеры рассматриваемого затруднения в этом и аналогичных других случаях с полною ясностью. После значительного промежутка времени некоторые племена пришли к мысли освобождать занятые выражением числа 5 пальцы одной руки с помощью употребления особого знака, напоминающего человеку, что число 5 уже получено один раз. Этим знаком бывали: черта, проведенная на песке или красящим веществом на какой-нибудь поверхности, камень, и т. д. Этим приемом была создана пятеричная система счисления в ее примитивном виде счета по пяткам и положено начало развитию письменного счисления. Действительно, употребление для условного обозначения предмета других знаков, чем жесты и звуки, и есть уже письмо в самом обширном значении этого слова (см. Письменное счисление). Последовавшее за введением указанного приема развитие счисления состояло в том, что при выделении, с помощью пальцев одной руки, всех следующих числовых представлений до известного предела, попутно выделялись сперва простые кратные пяти, как основного числа пятеричной системы, а затем и единицы следующих разрядов той же системы вместе с кратными им. Другим средством устранения представившегося затруднения, найденным другими племенами, было употребление при выделении следующих за 5-ю числовых представлений пальцев другой руки. Но когда эти племена, достигнув числа 10, должны были перейти к 11, тогда они опять встретились с затруднением, подобным прежнему и состоявшем в невозможности пользоваться пальцами обеих рук, как уже занятыми выражением числа 10. Те же два средства, как и прежде, послужили и для устранения нового затруднения. Одни из племен, придя к мысли обозначать десяток особым знаком, создали получившую позднее всеобщее распространение десятичную систему счисления; другие, напротив, остановившись на мысли воспользоваться пальцами ног, продолжали развивать счисление в прежнем направлении, пока наконец, достигнув числа 20, не пришли в дальнейшем развитии счисления к созданию двадцатеричной системы, закончившему собой цикл образования пальцевых, или натуральных, систем счисления. Средства, при помощи которых происходило дальнейшее развитие счета, оставались все последующее время в сущности теми же, какими были вначале, изменяясь только более или менее резким образом в своих внешних формах, в зависимости от достигаемых человечеством ступеней развития. Согласно двум главным родам употребляемых средств, счет бывает или вещественным, или мысленным. Первый пользуется или предметами, принадлежащими человеческому телу, главным образом пальцами, или же предметами, посторонними человеку. И в том, и в другом случае счет пользуется употребляемыми им предметами или в их непосредственном виде, или в форме изображений, с течением времени все более и более удаляющихся от оригиналов и кончающих переходом в системы условных знаков, или образованием письменного счета в тесном смысле. Несмотря на свою распространенность в позднейшее время, письменный счет не является единственной формой вещественного счета в его позднейшем состоянии. Другой формой, и притом стоящей гораздо ближе к своему древнему прототипу, является инструментальный счет, пользующийся для своих целей различными более или менее сложными искусственными инструментами или орудиями, начиная с первобытного шнурка с узлами и кончая усовершенствованной счетной машиной последней конструкции. Другой главный вид счета — мысленный — в своей чистой первоначальной форме слагается из операций, совершаемых вне сознания и выводимых перед ним с значительным трудом и в более или менее смутных образах только в позднейшее время, по достижении владеющими им лицами значительно высших ступеней развития. При таких свойствах этого счета об употреблении его в древности мы можем судить только по перешедшим в памятники древней математической литературы результатам его приложения к решению различных задач и вопросов. Недостаток данных истории М. может быть пополнен наблюдениями над феноменальными счетчиками нашего времени. Этим именем обозначаются прежде всего лица, которые, без всякой предварительной подготовки, оказываются в состоянии в поразительно короткие промежутки времени производить очень большие вычисления и решать задачи, которые должны быть признаны совершенно выходящими из круга ведения не только неграмотного человека, но даже и лиц, получивших элементарное школьное образование. Можно указать на обратившего на себя недавно внимание всего образованного мира <i>Жака Иноди</i> и на изученных более или менее обстоятельно <i>Анри Монде</i> во Франции, и <i>Ивана Петрова</i> в России. Наблюдения над этими феноменальными счетчиками дают нам основание думать, что начало употребления мысленного счета восходит к очень отдаленным временам развития счисления. Данных для изучения первоначального развития <i> геометрии</i> наука в настоящее время почти совсем не имеет. Первое ознакомление с основными геометрическими понятиями доставляло человечеству созерцание предметов окружающей природы. Но это ознакомление было бы очень поверхностным, если бы к нему не присоединялось с раннего времени воспроизведение образов, представляющихся человеку в окружающем его мире, вызываемое или стремлением к подражанию, или практическими нуждами. Воспроизведение, явившееся результатом первой из этих двух причин, выразилось в первобытных формах живописи и ваяния, и второй — в различных ремеслах и в первобытной форме архитектуры. Но большая часть доставляемых этими средствами геометрических сведений оставалась вне сознания. Прогрессировать в ясности и определенности эти представления едва ли могли ранее эпохи, когда явилась надобность в измерении расстояний, в определении величины земельных участков, в вычислении содержания жидкостей, зерен, плодов и проч. в сосудах и различных помещениях. Употребляемые вначале приемы этих измерений и определений были исключительно эмпирического и индуктивного происхождения. Умозрение стало приводить к сколько-нибудь заметным результатам только значительно позже, и притом первые результаты умозрения в области геометрии могли быть в большинстве случаев только ошибочными. Вполне характерным примером их является имевшее в свое время всеобщее распространение ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и обратно. Учение это получило очень обширное и притом вполне умозрительное развитие. Площадь какого-нибудь данного четырехугольника вычислялась, напр., как площадь прямоугольника, имеющего одинаковый с ним периметр, именно такого, неравные стороны которого равнялись полусуммам противоположных сторон рассматриваемого четырехугольника (египетские землемерные надписи храма в Эдфу). Площади многоугольника, круга, всякой криволинейной фигуры вычислялись как площади квадратов, имеющих сторонами <sup>1</sup>/<sub>4</sub> периметра рассматриваемой фигуры. Вычитание площадей фигур заменялось вычитанием их периметров и следующим затем определением площади квадрата, периметр которого равнялся полученной разности (русские землемерные рукописи XVII столетия). Древнейшим из известных современной науке памятников древней математической литературы является составленный за 1700 лет до Р. Х., по источникам еще более древним, восходящим именно к промежутку 2221-2179 гг. до Р. Х., египетский <i> папирус Ринда</i> (см. Папирусы математические). В таблицах, составляющих его арифметическую часть, исследователь, кроме действий над целыми и дробными числами, встречает еще случаи возвышения в степени, пропорциональное деление, учение о геометрических отношениях и пропорциях в примитивном виде, определение среднего арифметического, задачи, занимающиеся арифметическими прогрессиями, решение уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Изложение решений вопросов и задач в папирусе Ринда лишено даже намека на что-нибудь подобное объяснению или доказательству. Искомый результат или дается прямо, или вычисляется, как бы по рецепту, в обоих случаях он поверяется, так как уверенность в правильности предписанного решения только при посредстве поверки и может быть достигнута. Такой способ изложения, как свидетельствующий, по меньшей мере, о неясности для сознания найденного решения вопроса, показывает, что вначале исключительно, а позднее во всех более трудных случаях решение задач и вопросов доставлялось феноменальными счетчиками и затем, как умственное наследие, передавалось из поколения в поколение. Методов, которыми бессознательно пользовались феноменальные счетчики при своих решениях вопросов и задач, как показывают наблюдения над людьми этого типа в новейшее время, было два; из них один может быть назван методом попыток. Сущность метода состоит в совершении ряда попыток, имеющих целью достигнуть вполне точного решения вопроса или возможно более к нему приблизиться. Так как для успеха дела число таких попыток должно быть возможно более ограниченным, то прежде чем приступить к ним необходимо определить на основании условий вопроса их низший или высший предел или оба вместе. Затем для первой из попыток, следовательно, в качестве числа, представляющего для всего их ряда точку исхода, или, короче, в качестве исходного числа, берется или один из этих пределов, или число, близкое к нему. Выбор для дальнейших попыток, в случае неудачи первой, чисел в ряду следующих за исходным числом всегда следует принципу удобнейших (главным образом для вычисления) чисел. Оценка делаемых попыток в их отношениях к своей главной цели, т. е. по вопросам о том, доставляется ли ими искомое решение вопроса или, в противном случае, насколько они приближают к этому решению, производится с помощью их поверки условиями задачи; без поверки употребление метода делается совершенно немыслимым. Существенной характеристической чертой метода попыток является его применимость к решению самых разнообразных задач и вопросов как теоретического, так и практического характера. Метод попыток может быть прямым, когда попытки занимаются непосредственным определением искомого числа, и непрямым, когда ими определяется число, находящееся в установленной условиями задачи связи с искомым. Частным случаем метода попыток является метод постепенного образования, или составления искомого числа на основании условий вопроса. В этом методе или все попытки, кроме первой, или некоторая часть их, заменяются рядом изменений, совершаемых или в исходном числе, или в числе, доставленном какой-нибудь из последующих попыток. Изменения эти производятся таким образом, чтобы составляющее их объект число постепенно приближалось к искомому. Приложение этого метода допускается, впрочем, далеко не всеми вопросами, решаемыми методом попыток, а потому он и является не более, как только частным его случаем. Другим, находящимся в распоряжении феноменальных счетчиков, методом был обычно употребляемый в современной науке метод выражения искомого неизвестного в данных задачи. Феноменальные счетчики, а затем обыкновенные, пользовались им для решения вопросов с немногими и простыми условиями, указывающими с полной очевидностью ряд действий, исполнение которых над данными числами приводит к искомому неизвестному. В папирусе Ринда встречается только одно правило, имеющее для области обнимаемых им случаев, хотя и крайне тесной, общее значение. Результат умножения каждой дроби с единицей в числителе на дробь <sup>2</sup>/<sub>3</sub>, говорит это правило, всегда состоит из <sup>1</sup>/<sub>2</sub> умножаемой дроби и из ее <sup>1</sup>/<sub>6</sub>. Так как изложение этого правила следует непосредственно за рядом примеров, его подтверждающих, то исследователь получает право заключить, что оно было найдено помощью индукции через простое перечисление. По всей вероятности, и все другие правила общего характера в рассматриваемую отдаленную эпоху выводились таким же образом. Представляемые папирусом Ринда геометрические сведения древних египтян стоят на гораздо более низкой степени развития, чем их арифметические знания. Для суждения о качественной стороне дела достаточно заметить, что все употребляемые в нем приемы измерения, как величины земельных участков, так и вместимости житниц, неточны. Притом в первом случае они хотя и имеют умозрительный характер, но на степени развития, не стоящей выше учения о равенстве площадей при равенстве периметров; во втором же случае они являются прямо и грубо эмпирическими. Гораздо более высокое положение, приближающееся до некоторой степени к философскому и научному уровню арифметических знаний, занимает в геометрическом отделе папируса Ринда, по точности результатов и по философскому и научному значению основных идей, статья о вычислении пирамид, как заключающая в себе в примитивном виде учение о подобии треугольников и пользующаяся для определения равенства углов в прямоугольных треугольниках приемами, состоящими в смысле науки нашего времени в определении синусов и тангенсов. Высокой для своего времени степенью точности обладает в папирусе Ринда также и прием вычисления площади круга, состоящий в возвышении в квадрат <sup>8</sup>/<sub>9</sub> его диаметра (см. Квадратура круга). Определенное по этому приему отношение окружности к диаметру равно 3,16. В то же время как и в Египте, или немного позже, математические знания достигли довольно высокой степени развития у жителей Вавилона и Ассирии, у <i>халдеев.</i> Главным источником сведений о том являются таблицы из <i>Сенкере,</i> занимающиеся возвышением последовательных натуральных чисел от 1 до 60 в квадрат и куб и пользующиеся для изображения чисел 60-ричной системой счисления. Кроме того, из сочинений греческих писателей мы узнаем, что учение о пропорциях было принесено Пифагором в Грецию из Вавилона. Не имея таким образом оснований для суждения об объеме и свойствах математических знаний халдеев, мы можем указать, как на единственную известную нам черту различия между ними и знаниями египтян — на характер приложений тех и других. Египетские математические знания прилагались к решению вопросов, имеющих практическое утилитарное значение, напротив, халдейские — главным образом преследовали мистические цели и служили для предсказаний будущего. Умственное развитие, а вместе с ним и развитие науки никогда не шло во всем человечестве равномерно. В то время как одни народы стояли во главе умственного движения человечества, другие оказывались едва вышедшими из первобытного состояния. Когда у последних вместе с улучшением условий их жизни, появлялись, под действием внутренних или внешних импульсов, стремления к приобретению знаний, тогда они должны были прежде всего догонять передовые племена. Если в то же время передовые племена, достигнув высшей доступной им по их способностям или по созданным для них историей условиям жизни степени развития, вырождались и падали, в умственном развитии всего человечества происходил застой или даже видимый временный упадок: приобретение новых знаний прекращалось и умственная работа человечества сводилась единственно к упомянутому усвоению отставшими племенами знаний, уже приобретенных человечеством. Только по достижении этого усвоения отставшие племена получали возможность вести далее дело приобретения новых знаний и через это, в свою очередь, становиться во главе умственного движения человечества. Таким образом, в истории умственной деятельности каждого народа, когда-нибудь занимавшего место в ряду передовых деятелей человечества и затем свершившего весь свой жизненный цикл, исследователь должен различать три периода: период усвоения знаний, уже приобретенных человечеством; период самостоятельной деятельности в общей всему человечеству области приобретения новых знаний и, наконец, период упадка и умственного вырождения. Обращаясь от этого общего рассмотрения хода умственного развития человечества к той из отдельных его областей, которая представляется развитием М., мы находим, что при современном состоянии историко-математических знаний нам доступно изучение вполне завершенного цикла деятельности отдельного народа в области развития М. только на одной нации, на древних греках. Усвоение приобретенных человечеством знаний греками, как нацией, далеко отставшей от передовых народов, началось с особенно усилившегося, после изгнания гиксов из Египта, перехода егип. знаний к народам Малой Азии и в самую Грецию. В течение очень большого промежутка времени, от 1700 г. и ранее и до 600 г. до Р. Х., эти знания были исключительно практического характера, относящиеся к потребностям обыденной жизни и к необходимейшим промыслам, ремеслам и искусствам. В области М. переход научных знаний из Египта в Грецию начался с возвращения, около 590 г. до Р. Х., <i>Фалеса Милетского</i> на родину, в Милет, после долговременного пребывания в Египте. Принесенные им оттуда геометрические и астрономически сведения составляли первое время почти исключительное достояние основанной им ионийской школы. Но это время было очень непродолжительно, так как труд перенесения египетских, а затем и халдейских математических знаний скоро взяли на себя и другие лица: <i>Пифагор, Ойнопид Хиосский</i> и <i>Демокрит</i> <i>из Абдеры.</i> Особенно много сделал в этом направлении Пифагор, что и было главной причиной широкого развития занятий М. в основанной им пифагорейской школе. Так как последовательные стадии развития человечества никогда не сменяют друг друга резко, то в этой школе еще до окончания периода усвоения исследователь встречается уже с проявлениями самостоятельной деятельности греков в области М. Различить однако же в том, что нам известно о математических знаниях пифагорейцев, принадлежащее им самим от заимствованного у египтян и халдеев, в настоящее время нет пока никакой возможности. После разрушения, около 450 г. до Р. Х., представляемого этою школой религиозного братства, ее математические знания, строго оберегаемые наравне со всеми другими знаниями от распространения между лицами, не принадлежащими к союзу, сделались общим достоянием греческой нации. Особенно широкое распространение получили они на родине пифагорейского союза, в греческих колониях Южной Италии, или в так называемой Великой Греции, и в Афинах. В Италии это распространение создало италийскую математическую школу, крупнейшими представителями которой в последующее время были <i>Архитас Тарентский, Эвдокс Книдский </i>и <i>Архимед.</i> В Афинах распространение пифагорейских математических знаний выразилось в деятельности математиков V стол., крупнейшим представителем которых был пифагореец <i>Гиппократ Xиoсский.</i> Деятельность эта была посвящена главным образом попыткам решения трех знаменитых задач: трисекции угла, квадратуры круга и удвоения куба. Этому же столетию принадлежит и первая попытка составления свода геометрических знаний в научной обработке, сделанная <i>Гиппократом Хиосским.</i> С деятельностью математиков V ст., кроме значительного усиления самостоятельности математических работ греческих ученых, связываются в истории М. два важных момента: начало дедуктивного периода развития М., которое в действительности, может быть, относится к еще более раннему времени, напр. к пифагорейской школе или даже к самому Египту, и полное выяснение направления и характера математического гения греческой нации, который с этого времени начал проявлять такую исключительную склонность к геометрическим исследованиям, что на них, можно сказать, сосредоточилась вся деятельность греческой нации в области математики до самого наступления периода упадка. С началом дедуктивного периода закончился в истории развития математики во всем человечестве первоначальный, донаучный период. Период усвоения греками математических знаний, приобретенных человечеством, можно считать закончившимся ко времени деятельности <i>Платона,</i> который хотя и ездил в Египет с целью непосредственного ознакомления с египетскими науками, но, по высокому сравнительно состоянию математических знаний в пифагорейской школе и у математиков V ст., он едва ли мог найти в египетской М. что-нибудь, оставшееся для греков неизвестным. Итак, период вполне самостоятельной деятельности греков в области М. начинается с деятельности Платона и основанной им в 389 г. Философской школы, известной под именем Академии, или даже еще ранее, с работ математиков V ст. С этого времени последующее развитие, если не всей М. вообще, то, несомненно, геометрии, сосредоточивается исключительно в руках одной греческой нации, которая и ведет его, пока находит в своем распоряжении необходимые средства. Главным результатом о математической деятельности самого Платона было создание философии М. и в частности ее методологии. Как известно, его собственные работы очень мало касались увеличения математических знаний в количественном отношении и были направлены главным образом на установление строгих и точных определений основных понятий геометрии, на обнаружение и отведение настоящего места ее основным положениям, на приведение приобретенных ранее математических знаний в строгую логическую связь как между собой, так и с основными понятиями и положениями, и наконец, на приведение в полную ясность и изучение методов открытия и доказательства новых истин, методов, хотя уже давно употребляемых в науке, но еще не выяснившихся в достаточной степени перед сознанием. Методов, разработанных Платоном, по свидетельству Прокла, было три: аналитический, синтетический и апагогический. Особенной новизной для современников Платона отличались, по-видимому, результаты произведенного им изучения аналитического метода, как это можно видеть из того, что Диоген Лаэрций и с меньшей уверенностью Прокл смотрят на этот метод как на нововведение Платона. В дошедших до нас сочинениях Платона не содержится никаких сведений об его исследованиях по рассматриваемому предмету, так что для суждения об их результатах нам не остается ничего другого, как воспользоваться определением этих методов у первого по времени известного нам писателя, который его дает. Таким писателем является Эвклид, по определению которого "анализ есть принятие искомого как бы найденным, чем через следствия достигается то, что найдено истинным, а синтез есть принятие уже найденного, чем через следствия достигается то, что найдено истинным". Изложенные, на основании позднейших исследований предмета, более полным и главное более определенным образом, эти определения представляются в следующем виде. Аналитический метод состоит в образовании цепи предложений, из которых каждое вытекает из следующего за ним, как непосредственное следствие. Первым звеном этой цепи служит доказываемое предложение, последним — предложение уже доказанное. Схема метода такова: требуется доказать существование <i>D.</i> Доказательство: <i>D</i> существует, если <i>С</i> существует; <i>С</i> существует, если <i>В</i> существует; <i>В</i> существует, если <i>А</i> существует, но существование <i>А</i> есть уже доказанная истина, следовательно, и существование <i>D</i> доказано, так как правильно выведенное следствие предложения, представляющего истину, всегда есть истина. Если между двумя следующими одно за другим предложениями цепи существует обратимость, т. е. если при следовании справедливости первого предложения из справедливости второго, также следует обратно и справедливость второго из справедливости первого, то отыскивание этого второго предложения при составлении цепи, как предложения, из которого первое вытекает как следствие, может быть заменено более легким действием вывода второго предложения, как следствия первого. Если обратимость предложений распространяется на всю цепь, то аналитический метод принимает более легкую частную форму, состоящую в образовании цепи предложений, из которых каждое есть непосредственное следствие предыдущего. Эту частную форму обыкновенно и принимают за выраженную определением Эвклида, хотя неопределенность его выражения и не дает для этого достаточного основания. Если же принять во внимание, что, при непонимании значения обратимости предложений, греческие геометры, употребляя эту форму, должны были беспрестанно приходить к ложным выводам, то придется заключить, что путем горького опыта они должны были придти к употреблению общей формы анализа, как никогда не обманывающей возлагаемых на нее надежд. Синтетический метод есть обращение аналитического и поэтому состоит в образовании цепи предложений, из которых первое есть доказанная истина, а каждое из последующих есть следствие ему предшествующего. Об апагогическом методе. или методе приведения к нелепости (reductio ad absurdum), Эвклид не говорит, но довольно ясное его определение наряду с неясными определениями анализа и синтеза дает Прокл, при своем приписывании их Платону; "Третий (апагогический) метод, — говорит он, — есть приведение к невозможному, которое не доказывает прямо того, что ищется, а опровергает то, что ему противоречит, и таким образом через связь того и другого находит истину". В основании этого метода лежит истина, что если из двух предложений одно вполне отрицает другое, или, другими словами, если два предложения противоречащие, то для убеждения в справедливости одного достаточно показать ложность другого. Аналогический метод есть собственно видоизменение аналитического, в котором первым звеном цепи предложений вместо доказываемого предложения является его отрицание, а последним какое-нибудь заведомо ложное или нелепое предложение. Ученые математики, принадлежавшие к Академии во все время ее существования, распадались на две группы: на ученых, получивших свое математическое образование независимо от Академии и находившихся только в более или менее тесных сношениях с ней, и на бывших учеников Академии. К числу первых принадлежали <i>Теэтет Афинский, Леодамас Тазосский, Архитас Тарентский</i> и позднее <i>Эвдокс Книдский; </i>к числу вторых — <i>Неоклид, Леон, Амикл из Гераклеи,</i> братья <i>Менехм</i> и <i>Динострат,</i> и во время старости Платона <i>Теюдий из Магнезии, Кизикен Афинский, Гермотим Колофонский</i>, <i>Филипп из Менде</i> и <i>Филипп из Опуса. </i>В школе Платона часто по его указаниям, а иногда и при непосредственном руководстве, продолжалась разработка планиметрии, получила значительное движение вперед мало разработанная ранее стереометрия, создалось учение о конических сечениях и более общее о геометрических местах. Кроме того, в ней продолжал свое развитие получивший, насколько нам известно, начало в трудах Гиппократа Хиосского метод исчерпывания, о котором мы будем говорить далее, и были сделаны две новые попытки составления книги "Элементов" геометрии: <i>Леоном,</i> в начале существования Академии, и <i>Теюдием из Магнезии</i> в конце жизни Платона. "Элементы" Леона замечательны по введению в них впервые так назыв. диоризма, то есть исследования задачи, состоящего в рассмотрении условий возможности или невозможности ее решения, а также в первом случае и в определении числа ее различных решений. Из математиков, современных Академии, но не принадлежавших к ней, более известны нам по своей деятельности <i>Автолик из Питаны</i> и <i>Аристей Старший.</i> Создание в школе Платона философии М. должно было повести необходимым образом к разработке существенно необходимой для нее истории М. Дело этой разработки взяла на себя основанная учеником Платона, <i>Аристотелем,</i> школа перипатетиков в лице двух своих представителей, <i> Эвдема Родосского</i> и <i>Теофраста Лесбосского.</i> Нельзя не заметить, что в трудах по истории М. этих ученых заключается все крупное, что было сделано школой перипатетиков для развития наук математических. Покровительство науке, оказываемое династией Птолемеев, царей новой греко-египетской монархии, возникшей после смерти Александра Македонского на почве древнего Египта, сделало, приблизительно с 300 г. до Р. Х., из столицы этой монархии, Александрии, главный центр умственной и духовной жизни греческого мира. Щедрые денежные пожертвования на дело науки и просвещения со стороны династии Птолемеев, и особенно трех первых из них: <i>Птолемея Сотера, Птолемея Филадельфа</i> и <i>Птолемея Эвергета, </i>привлекли в Александрию выдающихся представителей науки древней Греции и собрали в Александрийской библиотеке все сокровища греческой ученой и изящной литературы. Самыми крупными из представителей М. в Александрии были <i>Эвклид, Эратосфен </i>и<i> Аполлоний Пергейский.</i> Написанные Эвклидом "Элементы" геометрии закончили собой ряд попыток составления сочинений того же рода. До нынешнего времени остаются они произведением, не имеющим в своей области себе равного. Также классическим, хотя и далеко не в такой степени, является завершившее собой развитие учения о конических сечениях в древней Греции сочинение Аполлония Пергейского: "Восемь книг о конических сечениях", заключающее в себе все сделанное в этой области самим автором, его предшественниками и современниками. Старшим современником Эратосфена и Аполлония Пергейского был самый крупный математик своей эпохи, представитель италийской школы, <i>Архимед. </i>Из его работ особенно важное значение должно быть признано за исследования... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., эл... смотреть

МАТЕМАТИКА

греч. ??????????, от ?????? – знание, наука) – наука о формах и отношениях, взятых в отвлечении от их содержания. Первый и основной предмет M. составляют количественные и пространственные отношения и формы. "Но, чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и у, постоянные и переменные величины..." (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1957, с. 37). Если, напр., социолог интересуется ростом народонаселения с течением времени, а физик изменением давления газа в связи с изменением температуры, то математик видит здесь только функциональную зависимость числа у от числа х. Кроме количеств. и пространств. отношений и форм, в М. изучаются др. отношения и формы, в частности в математической логике – формы логич. вывода, в геометрии – n-мерные пространства, которые, конечно, не являются пространств. формами в обычном смысле слова, но имеют прообразы в действительности, напр. в виде множества всех возможных состояний той или иной механич. системы (т.н. фазовое пространство системы). В общем, в предмет М. могут входить любые формы и отношения действительности, к-рые объективно обладают такой степенью независимости от содержания, что могут быть от него полностью отвлечены и отражены в понятиях с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы дать основание для чисто логич. развития теории. Кроме того, в М. рассматриваются не только формы и отношения, непосредственно абстрагированные из действительности, но и логически возможные определяемые на основе уже известных форм и отношений. Именно так появились "мнимые" числа, "воображаемая" геометрия Лобачевского и др.; причем сами термины "мнимое", "воображаемая" подчеркивают, что речь идет о мыслимых объектах, реальный смысл к-рых выяснился не сразу. В наст. время определение новых объектов математич. теорий стало столь обычным делом, а способы их истолкования настолько развиты, что разделение их на действительные и лишь логически возможные по большей части утрачивается. Тут имеется переход – через ряд абстракций и определений – от понятий, реальный смысл к-рых очевиден (напр., целое число), к таким, к-рым не удается дать наглядной интерпретации (напр., нек-рые понятия множеств теории). М. может быть определена как наука о логически возможных, чистых (т.е. отвлеченных от содержания) формах или, что то же, о системах отношений, т.к. форма есть система отношений частей целого, а отношения в М. всегда фигурируют как система отношений между к.-л. абстрактными объектами. Если две системы А1 и А2 таковы, что объекты и отношения одной можно сопоставить с объектами и отношениями другой так, что объектам из А1 находящимся в данном отношении, всегда отвечают объекты из А2, находящиеся в соответств. отношении, и обратно, то такое сопоставление наз. изоморфизмом, а системы – изоморфными. То общее, что есть в изоморфных системах, и есть "чистая" форма. Соответственно М. рассматривает разные системы с точностью до изоморфизма (кроме, конечно, тех случаев, когда объектом изучения служит само отношение изоморфизма). Безразличие чистых форм к содержанию означает лишь то, что они встречаются с совершенно разным содержанием (как одна и та же формула может выражать законы разных по своей природе явлений). Но это вовсе не значит, что эти формы всегда имеют внешний или чисто количеств. характер; напр., симметрия кристаллич. решетки (определяемая математически) является существенной качеств. ее характеристикой. О с о б е н н о с т и М. 1. Форма, отвлеченная от содержания, выступает как самостоят. объект, так что непосредств. предметом М. оказываются: числа, а не совокупности предметов, геометрич. фигуры, а не реальные тела и т.п. В природе есть, напр., тела более или менее шарообразной формы, но шарообразная форма, взятая сама по себе, превращается в идеальный объект – геометрич. шар; в природе есть разнообразные связи переменных величин, чистая же форма такой связи выступает в М. как идеальный объект – функция, и т.д. Абстракции и идеализации есть и во всякой др. науке, но там им не придается такого самодовлеющего значения, они всегда сверяются с действительностью. М. же абсолютизирует свои абстракции; ее понятия, возникнув и определившись, закрепляются и рассматриваются как данные, а сравнение их с действительностью есть задача не самой М., а ее приложений. Поэтому в М. не заботятся, напр., о том, что не только практически невозможно абсолютно точное измерение, но что и не существует абсолютно точных значений реальных величин. За нек-рыми пределами уточнения количеств. изменения влекут качественные, и данная величина теряет смысл, тело оказывается состоящим из атомов, давление газа – из ударов молекул и т.д. Но такой "переход количества в качество" зависит от природы величины, а раз в М. отвлекаются от этой природы, то в ней этот переход исчезает. Величина, взятая в отвлечении от содержания, величина в о о б щ е, естественно, мыслится как абсолютно точная, как допускающая неограниченно уточняющееся измерение. Точно так же, хотя совр. физика установила, что реальное пространство не является точно эвклидовым, никто не считает от этого эвклидову геометрию как математич. теорию неточной или нестрогой. Ее строгость и точность определяются соответствием ее выводов осн. посылкам, закрепленным и выраженным в аксиомах. 2. Результаты М. – теоремы – получаются путем логич. вывода из осн. понятий и посылок, ссылка на опыт не считается математич. аргументом (математич. выкладки суть не более как концентрированные в символич. форме логич. выводы). Это, так же как предыдущая особенность М., вовсе не означает, что М. не заимствует свои понятия из опыта и что она не имеет отношения к действительности. Но М. исследует формы и отношения, полностью отвлеченные от содержания, сохраняя в них лишь то, что содержится в их определении. Поэтому естественно, что в М. ее результаты получаются путем логич. выводов из самих этих определений, из самих понятий о соответств. формах, так что чистая М. имеет чисто дедуктивный, умозрит. характер. 3. Отличительной особенностью М. является непреложность ее выводов. Логически допустимо нарушение законов физики, но невообразимо, чтобы, напр., дважды два не было четыре. Эта непреложность выводов М. объясняется не более как их логич. связью с принятыми посылками. Они логически необходимы лишь постольку, поскольку приняты посылки. "Дважды два – четыре" следует из определения умножения. Следовательно, во-первых, указанная особенность М. вытекает из предыдущих, а во-вторых, она относительна: вывод обязателен лишь постольку, поскольку приняты его основания. 4. Для М. характерно наличие ряда ступеней абстракции и образование новых понятий на базе уже сложившихся. Уже понятия о бесконечно продолжаемом ряде целых чисел, о любом вещественном числе суть результаты ряда абстракций; затем уже внутри самой М. возникли понятия комплексного и, далее, гиперкомплексного числа. Аналогично возникли понятия о неэвклидовых и многомерных пространствах и др. Для совр. М. вообще характерно сознат. введение новых понятий на базе уже имеющихся. Эта черта М. естественно связана с ее основной, определяющей особенностью, потому что, во-первых, достаточно полное отвлечение тех или иных форм и отношений от содержания происходит не сразу, а через ряд абстракций, а во-вторых, придавая своим понятиям самодовлеющие значения, М. уже тем самым делает их основанием для образования новых понятий, для новых ступеней абстракции. 5. Особенностью М. является также универсальность ее применений. В любой области, где только удается поставить задачу математически, М. дает результат с точностью, соответствующей точности постановки задачи. Мы одинаково считаем любые предметы, лишь бы они были строго разграничены. Одни и те же уравнения могут описывать совершенно разные по существу явления. Т.о., в абстрактности М. заключается ее сила: чем больше отвлечение от содержания, тем шире возможности приложений. Но по той же причине универсальность приложений М. не абсолютна, а относительна: правомерность ее применения в данной области, к данной задаче должна быть обоснована анализом содержания. 6. М. занимает особое положение среди других наук, т.к. исследуя формы и отношения, встречающиеся в природе, обществе, а также в мышлении, она отвлекается от содержания и исключает из допускаемых внутри нее аргументов наблюдение и эксперимент. Поэтому ее нельзя причислить к естествознанию или к общественным наукам. Тем не менее М. зародилась из практики как естеств. наука и только в результате достаточно длит. накопления знаний, выяснения понятий и связей между отд. результатами превратилась в "чистую" М., дальнейшее развитие к-рой, продолжая идти в тесной связи с естествознанием, включало существенное расширение ее предмета, восхождение к более высоким ступеням абстракции. Так, если у Эвклида имеются в виду геометрич. объекты в их обычном наглядном, хотя и отвлеченном от материального содержания, смысле, то теперь в основаниях геометрии говорят о "любых объектах", лишь бы они удовлетворяли соответствующим аксиомам. Словом, отвлечение от содержания исследуемых М. форм и отношений шло постепенно и продолжается. Хотя определения математич. понятий все более уточняются, они не становятся абсолютно точными; математич. точность и строгость выводов также развивается, и то, что считалось строгим прежде, уже не считается таким теперь. В этом отношении хорошим примером может служить арифметика. Предмет ее составляет система натуральных чисел 1, 2, 3,... с их отношениями: большего к меньшему, суммы к слагаемым и т.д. Отд. число само по себе не имеет свойств; если мы спрашиваем о свойствах, напр., числа 6, то замечаем, что 6=5+1, 6=2?3 и т.п., так что свойства данного числа состоят в его отношениях к др. числам. Отношения же эти суть отвлеченные образы реальных количеств. отношений между совокупностями предметов. Каждое отд. число ("два", "пять" и т.п.) есть свойство совокупности предметов – общее у совокупностей, предметы к-рых можно сопоставить по одному, и различное у таких, для к-рых такое сопоставление невозможно. Наличие такого свойства устанавливалось в процессе практич. счета предметов. Первоначально число определялось сравнением с к.-л. конкретным предметом (напр., "пять" – "рука"). Первая ступень абстракции состояла в отвлечении от такого конкретного предмета, когда число выделилось как свойство совокупности; так, говорили: "три камня" и т.д. Следующая ступень абстракции состояла в том, что появилось понятие о числах самих по себе, без связи с к.-л. предметами; числа выступили как самостоятельные идеальные объекты. (Ср. образование понятий о др. свойствах, напр.: "как уголь", "черный", "чернота"; здесь грамматич. форма существительного придает свойству характер самостоят. объекта.) Одновременно возникали действия над числами как абстрактное отображение реальных действий над совокупностями предметов; напр., умножение происходит из счета совокупностями по два, по три и т.п. В процессе практич. счета люди открывали не только связи между отд. числами, но и общие законы, как, напр., то, что сумма не зависит от порядка слагаемых. Так формировалась система чисел. История ее фактич. возникновения служит прямым подтверждением правильности материалистич. понимания М. Материализм признает как факт идеальный характер непосредственного объекта арифметики, но, в противоположность идеализму, признает также, что "...идеальное есть не что иное, как материальное, пересаженное в человеческую голову и преобразованное в ней" (Маркс К., Капитал, т. 1, 1955, с. 19). В становлении арифметики важную роль играло введение обозначений для чисел. Они позволили оперировать с числами, лежащими за пределами наглядного представления. Как понятие вообще выражается словом, так отвлеченное число – словом или знаком. Как "язык есть непосредственная действительность мысли" (Маркс), так и математич. обозначения есть "непосредственная действительность" математич. абстрактных понятий. Следующая ступень абстракции состояла в образовании понятия о любом целом числе вообще, в отвлечении от практич. ограниченности счета и, следовательно, в осознании потенциальной возможности неогранич. продолжения числового ряда, закономерности к-рого, естественно, выводятся логически из понятия об этом ряде как бесконечной последовательности, образуемой с помощью единств. операции – прибавления единицы. Так, арифметика как искусство счета переросла в теоретич. арифметику, что знаменовало возникновение чистой, дедуктивной М. Следующая ступень абстракции, ясно выявившаяся лишь в 19 в., состояла в формировании понятия о множестве всех целых чисел, к-рое мыслится как целое (как актуальна я бесконечность, в отличие от потенциальной бесконечности неограниченно продолжаемого ряда чисел; см. Абстракция актуальной бесконечности, Абстракция потенциальной осуществимости). Такое понимание бесконечности натурального ряда послужило естеств. основой для введения существенно нового понятия трансфинитных порядковых чисел, на основе к-рого, в свою очередь, метод математич. индукции был дополнен новым методом доказательства и определения, т.н. трансфинитной индукцией (см. Математическая индукция). Далее были подвергнуты более глубокому анализу самое понятие о целом числе и логич. средства теоретич. арифметики. Р а з в и т и е М. История М. делится на ряд этапов. Формирование на основе повседневной практики простейших понятий арифметики и геометрии восходит к очень ранним ступеням развития человеческого общества. Моментом зарождения собственно М. – превращения накопл. знаний в науку – следует считать систематизацию этих знаний и формулировку законов и правил (в данном случае – правил решения арифметич. задач и определения простейших площадей и объемов; само слово "геометрия" означает "землемерие"). Это произошло в 3–2-м тысячелетиях до н.э. в ряде стран: Египте, Вавилоне, Китае, Индии. В то время математич. правила формулировались на основе практики. Но постепенно наряду с накоплением математич. знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач складывались теоретич. способы вывода новых результатов, складывались первые математич. доказательства. В конечном итоге это привело к качеств, скачку: сложилась "чистая" М. с ее дедуктивным методом. Конечно, этот "скачок" был достаточно длительным. Насколько известно; это произошло в 7–5 вв. до н.э. в Греции, куда математич. знания перешли из Египта. Есть указания на то, что простейшие теоремы геометрии доказывались уже Фалесом. В 5 в. до н.э. появляется систематич. изложение геометрии, тогда же Демокрит дал глубокие для своего времени выводы, содержавшие как бы первый зародыш интегрального исчисления. Открытие несоизмеримых отрезков и последовавшее за ним создание теории отношений несоизмеримых величин было большим достижением греч. М, Это логич. построение, явно выходившее за пределы эмпирически данного, очень четко обозначало окончат, оформление чистой М. (Следует различать знание математич. фактов от установления их логич. доказательств. Так, составляющее содержание теоремы Пифагора соотношение между квадратами, построенными на сторонах прямоугольного треугольника, было известно до Пифагора, но соответствующая теорема не была доказана.) Принципиальное значение для развития М. имело появление понятия о бесконечности, к-рое играет в М. такую роль, что М. порой даже определяют как "науку о бесконечности". Помимо понятия о бесконечно продолжаемом ряде целых чисел и неограниченно продолжаемой прямой, возникло также представление о неогранич. делимости геометрич. фигур. Непрерывное, первоначально не подвергавшееся анализу, выступает как неограниченно делимое, содержащее неогранич. число частей, точек, моментов. [Дальнейшее развитие М. идет в следующих направлениях: 1) накопление новых результатов в рамках уже определившихся понятий; 2) расширение предмета М., включение в него новых форм и отношений и, следовательно, формирование принципиально новых понятий; 3) изобретение новых методов решения задач и доказательства теорем; 4) восхождение к более высоким абстракциям и более широким обобщениям; 5) углубление осн. понятий. Соответственно, развитие М. не сводится к количеств, росту, но включает качеств, изменения, связанные с существенным расширением ее предмета и образованием новых понятий и теорий. При этом, однако, не происходит отказа от существующих теорий; они лишь углубляются и обобщаются. Так, геометрия Лобачевского не опровергает геометрию Эвклида, но обе теории включаются в нек-рую общую систему. В этом состоит одно из своеобразий развития М. Развитие М. идет как под влиянием др. наук и техники, так и "внутренним" путем. Роль каждого из этих факторов различна в каждом конкретном случае. В конечном счете, решающим является влияние др. наук и – гл. обр. через них – практики. Если последовательность развития определяется объективной логикой предмета М., то скорость его определяется обществ, условиями. ] Первый этап развития "чистой" М. после ее оформления в 7–5 вв. до н.э.– это эпоха элементарной М. Она продолжается до 17 в. и делится, в свою очередь, на два существенно различных периода. Первый (период греч. М.) характеризуется глубоким развитием и господством геометрии, к-рую греки подвели вплотную к аналитич. геометрии и интегральному исчислению; второй – характеризуется, преимуществ, развитием элементарной алгебры и формированием общего понятия (вещественного) числа (Индия, Ср. Азия, страны арабского Востока, Зап. Европы) и завершается, когда Декарт ввел совр. алгебраич. символику, так что алгебра обрела форму, наиболее адэкватную ее содержанию. Следующий этап в развитии М. охватывает период с начала 17 в. до сер. 19 в. Его обычно определяют как эпоху переменных величин, тогда как элементарную М. определяют как науку о постоянных величинах и простейших геометрич. фигурах. Такое определение неточно. Скорее элементарную М. нужно определять как к о н с т р у к т и в н у ю М. В ней изучаются не только связи между постоянными, но и между переменными величинами, т.е. функции (зависимость площади круга от радиуса, синус угла и т.п.), кривые линии и поверхности; используется, по существу, понятие предела (напр., при определении длины окружности). Все это было в греч. М. Но при этом речь шла о конструктивно заданных фигурах и функциях, об о п р е д е л е н н о м процессе приближения к пределу. Общие же понятия кривой, функции, предела в элементарной М. просто отсутствуют. У греков кривая, не заданная определенным геометрич. построением, считалась "механической". Переворот, знаменовавший новую эпоху, состоял прежде всего именно в том, что в предмет М. были включены зависимости между переменными величинами вообще, появилось соответственно общее понятие функции и возник аппарат исследования функций (дифференциальное и интегральное исчисления, ряды), т.е. возникла теория функций – анализ бесконечно малых. Создание анализа подготовлялось с нач. 17 в. в работах ряда ученых и было оформлено Ньютоном и Лейбницем. Это новое направление М. имело три источника. Первый составляло изучение движения, зависимостей между переменными в природе (астрономич. законы Кеплера, законы падения, открытые Галилеем, и др.). Решающее влияние задач механики на развитие анализа видно из след. примера. Второй закон динамики в формулировке самого Ньютона утверждает, что изменение количества движения пропорционально силе; но это "изменение" есть производная по времени, так что закон приобретает точную форму, только если ввести понятие производной. Для определения же движения по его "изменению" необходимо интегрирование. Поэтому Ньютон, можно сказать, был вынужден изобрести анализ, чтобы дать общие методы формулировки законов и решения задач механики. Второй источник представляла геометрия с ее задачами вычисления площадей и объемов и проведения касательных. Третий – алгебра, дававшая удобную символику и формальный аппарат, приведший, напр., к представлению функций в виде рядов. Метод координат связал геометрию с алгеброй (Декарт, 1637), а затем и с анализом – кривые задаются функциями, функции изображаются кривыми. Этот синтез сыграл важную роль в становлении и развитии как анализа, так и геометрии. Предметом этой последней также становятся любые (достаточно "гладкие") кривые. После Ньютона и Лейбница получил чрезвычайно интенсивное развитие математич. анализ. Его идеи и методы проникли в более старые области М. (геометрию, алгебру, теорию чисел), возникли новые его приложения и ответвления (теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия). Выяснение основ анализа (общее определение функции, теория пределов и др.) совпало с началом следующего периода в развитии М. Следующий этап длится с 1-й пол. 19 в. до сер. 20 в. и характеризуется тем, что в предмет М. включаются формы и отношения, не являющиеся уже пространственными и количественными в первоначальном смысле слова, причем нек-рые из этих форм и отношений определяются внутри самой М. Одновременно интенсивно развиваются и подвергаются воздействию новых идей ранее определившиеся области М. В результате всего этого М. превращается из науки о количеств. и пространств. отношениях и формах, какой она была прежде, в науку о логически возможных чистых формах только сходных, вообще говоря, с количественными и пространственными. Этот переворот идет неск. путями. Появляется неэвклидова геометрия (Лобачевский, 1826; Я. Бойай, 1832), формируется понятие многомерного пространства, выделяются теории отд. свойств фигур (проективная геометрия, топология и др.). На место одной эвклидовой геометрии появляется бесконечное множество разных "геометрий" – теорий возможных, формально сходных с пространственными, форм и отношений. Из них важнейшие: риманова геометрия (Б. Риман, 1854) и топология. Полученная на пороге 19 в. геометрич. интерпретация введенных еще в 16 в. мнимых (точнее – комплексных) чисел сняла с них покров таинственности и дала толчок дальнейшему расширению понятия числа и величины (гиперкомплексные числа, векторы, тензоры и др.), а также созданию новой области анализа – теории функций комплексной переменной. Одновременно (начиная от Э. Галуа) складываются совершенно новые направления алгебры: теория групп и др. алгебраич. систем. Каждая такая система есть множество к.-л. элементов, между к-рыми имеются отношения, формально сходные с отношениями между числами (между слагаемыми и суммой, сомножителями и произведением, отношение порядка "больше" – "меньше" и др.). Алгебра из учения о формальных действиях с числами и решении уравнений превратилась в науку о любых таких системах. В этот же период идет бурное развитие сохраняющего свою центр. роль в М. математич. анализа, а также уточнение его осн. понятий: предела, функции переменной (т.е. произвольного вещественного числа). Ставшие общепринятыми к 1870 представления, что "числовая прямая" должна рассматриваться как множество чисел, а любая геометрич. фигура как множество точек, привели к созданию Кантором теории множеств, в т.ч. специально теории точечных множеств, оказавшей громадное влияние на М. Во-первых, на почве теории точечных множеств были обобщены осн. понятия анализа (функция, производная, интеграл и др.), вошедшие затем в аппарат теорий, непосредственно связанных с приложениями (напр., теории дифференц. уравнений), а также в геометрию, где теперь исследуются фигуры гораздо более общие, чем прежде. Во-вторых, теория множеств породила в М. общую теоретико-множественную т. зр., согласно к-рой всякий объект М. трактуется как множество каких-то элементов, в к-ром имеются те или иные отношения (между элементами, между элементами и подмножествами – частями этого множества, между подмножествами). Пространство определяется как множество точек (тогда как, напр., Риман определял его как "протяженность"); область изменения переменной – как множество ее допустимых значений; функция может быть определена как множество упорядоч. пар (значение х и соответствующее значение у) и т.д. Это придало М. б?льшую ясность и единообразие и облегчило точные определения вновь вводимых понятий. Вершиной рассматриваемого этапа в развитии М. явился функциональный анализ, возникший в начале 20 в. В нем соединились идеи и методы совр. анализа, геометрии и алгебры. Он дал новую постановку многим задачам теории функций, теории дифференц. и интегр. уравнений и вариационного исчисления, открыл новые сильные методы их решения и явился адекватным аппаратом для квантовой механики. Середина 20 в. является началом нового этапа в развитии М., к-рый опять-таки характеризуется существенным расширением ее предмета и развитием принципиально новых идей. Приобретают особую роль разделы, посвященные исследованию самих способов и возможностей математич. вывода (математич. логика, теория алгоритмов). Эти математич. дисциплины оказывают существенное влияние на более старые области М.: ищутся схемы решений, к-рые можно осуществлять на машинах, оформилось целое конструктивное направление в М., изучающее проблемы алгоритмич. решения задач, доказательства теорем и построения математич. теорий. Возникли новые дисциплины: теория информации, теория автоматов, теория игр (помимо игр в собственном смысле, эта теория рассматривает вопросы военной тактики, производств. и экономич. задачи, вопросы выбора системы экспериментов и др.; к ней примыкают также спец. методы планово-экономич. расчетов). Характерным является также усиление роли и расширение приложений теории вероятностей (с к-рой связана теория информации и др. указанные новые дисциплины), зародившейся еще в 17 в. и развивавшейся с нарастающей интенсивностью, особенно по мере того как со 2-й пол. 19 в. стало все более выясняться значение статистических закономерностей (см. Вероятность). Все это связано с распространением применений М. на биологию, лингвистику, новые области техники, практич. задачи планирования произ-ва, обществ. науки и др. Можно сказать, что новый предмет М. составляют "сложные" системы, их структура и "поведение", т.е. переходы из одних состояний в другие (см. Кибернетика). О с н о в а н и я М. Основание всякой науки лежит в действительности, к-рую она отражает. Однако М. имеет своим непосредств. предметом не сами объекты и явления действительности, а идеальные объекты, к-рые она рассматривает умозрительно, исключая из своих аргументов ссылку на опыт. Отсюда проистекает особая, характерная именно для M. постановка вопросов о ее основаниях. Задачу оснований М. составляет анализ ее осн. понятий, осн. посылок ее теорий и способов доказательства. Сюда же примыкают вопросы об истинности математич. утверждений и существовании математич. объектов. Основания М. стали предметом исследования вместе с формированием чистой М. Греки, приведя геометрию в логич. систему, выявили те осн. положения (аксиомы), к-рые могли быть положены в ее основу. Теперь ясно, что система аксиом Эвклида была далеко не полной, но важен самый факт сознательного и уже довольно тонкого анализа оснований геометрии. (Для арифметики подобный анализ явился делом уже 19 в., что естественно, т.к. понятие целого числа представляется более очевидным и более ясным, чем осн. понятия геометрии.) Греки же начали исследование возможной зависимости одних аксиом геометрии от других: они стремились вывести аксиому о параллельных из др. аксиом Эвклида. Двухтысячелетняя история этих попыток завершилась построением геометрии Лобачевского, в основе к-рой лежит отрицание этой аксиомы. Возникновение неэвклидовой геометрии и др. абстрактных теорий, знаменовавшее в 19 в. новый этап в развитии М., вместе с анализом основ более старых теорий привело к существенно более глубокому исследованию оснований М. На почве этих исследований оформилось следующее понимание аксиоматич. "обоснования" математич. теорий. Предмет любой данной теории составляет нек-рое множество объектов с нек-рыми отношениями между ними, причем природа объектов никак не определена. Свойства же отношений точно формулируются в соответств. аксиомах. В этом виде аксиоматика данной теории составляет определение ее предмета. Конкретным же предметом теории может служить любое множество объектов с отношениями, для к-рых выполняются аксиомы, если входящие в них термины истолкованы соответств. образом (подробнее см. Метод аксиоматический). Важнейшим из относящихся к любой аксиоматич. системе вопросов является вопрос о ее непротиворечивости (т.е. попросту осмысленности, т.к. противоречивая теория заведомо не может иметь никакого реального смысла). Она доказывается тем, что дается какая-нибудь интерпретация (модель) системы аксиом. Такая модель строится на основе к.-л. др. математич. теории, и тем самым вопрос сводится к непротиворечивости последней. Так, геометрия Лобачевского истолковывается в эвклидовой геометрии, а этой последней дают аналитич. интерпретацию, в к-рой точка плоскости определяется как пара чисел. Однако понятие (аксиоматика) вещественного числа также нуждается в выяснении непротиворечивости. В общем, метод интерпретаций не дает окончат. доказательства непротиворечивости никакой теории, а лишь сводит одну теорию к другой, так что вопрос о непротиворечивости математич. теорий не может быть решен на этом пути в рамках самой М. В конечном счете, убеждение в состоятельности таких теорий М., как, напр., арифметика, оказывается той же природы, что и убеждение в состоятельности теорий естествознания: оно основано на том, что в этих теориях при всем их долгом развитии не обнаруживаются противоречия, что эти теории имеют громадное поле приложений, что они отражают действительность. Однако анализ оснований М. породил др. путь решения той же проблемы, состоящий в исследовании самих логич. средств математич. доказательства, что составляет задачу математич. логики. Если мы отвлекаемся от какой бы то ни было интерпретации, то единственным критерием правильности теоремы оказывается то, что она строго доказана. Математич. объект (напр., решение к.-л. уравнения) считается существующим, если доказано его существование. Речь идет не об истине как соответствии утверждения действительности, не об объективном существовании, а о логич. доказуемости. Но что значит точное доказательство? Противоречия, обнаружившиеся в нек-рых далеких выводах теории множеств, обострили этот вопрос, поскольку идеи этой теории пронизали все основания М. Убеждение в истинности М., основанное на ее гигантских достижениях, не могло снять указанного вопроса. Отказ от его решения означал бы подрыв доверия к строгости дедуктивного метода М. Стремясь спасти положение, нем. математик Д. Гильберт поставил проблему оснований М. следующим образом. Математич. теория трактуется чисто формально (отсюда название учения Гильберта – формализм), т.е. она строится на основе: перечня основных понятий; точного описания правил формулирования допустимых (считающихся осмысленными в этой теории) утверждений и определений; формулировок исходных утверждений (аксиом); указания правил вывода одних утверждений из других. Тогда утверждения теории можно записывать в подходящих символах и рассматривать правила формулирования и вывода просто как правила оперирования с этими символами. Теория превращается в формальную схему, и вопрос о непротиворечивости, о доказуемости в ее пределах той или иной теоремы сводится к исследованию этой схемы. Значение этой т. зр. состоит не только в том, что она очень четко ставит вопрос о математич. доказательстве, но и в том, что, превращая теорию в схему механич. выкладок, позволяет, хотя бы в принципе, передать осуществление этих выкладок машине. В этой связи особое значение приобретает теория алгоритмов (см. Алгоритм). Машина же есть объективный предмет и ее работа – объективный процесс, а не теория, так что здесь основания М. опять приходят к объективной действительности, хотя и др. образом. (М. как совокупности таких формальных схем противопоставляется метаматематика как учение о самих этих схемах, но на самом деле формальная схема уже не есть наука, так что метаматематика и есть М.) Однако очень скоро выяснилось, что указанный подход не решает проблемы: было доказано, что никакая формальная теория не может исчерпать даже арифметику; доказательство непротиворечивости формальной теории не может быть получено в рамках самой этой теории. Всегда неизбежен переход от данной теории к более широкой и т.д. Напр., непротиворечивость обычной арифметики доказана с помощью т.н. конструктивных трансфинитных чисел. Но хотя такое доказательство удается провести средствами, убедительность к-рых весьма велика (логич. их база есть минимальная логика), относительно них также может быть поставлен вопрос о непротиворечивости и т.д. (см. Метатеория). Т.о., дедуктивный метод М. был спасен не в том окончат. смысле, как надеялся Гильберт. Перед основаниями М. лежит путь бесконечного развития и уточнения, а окончат. основания М. так или иначе упираются в отношение ее к действительности. Отношение М. к действитель-ности и к другим наукам. Возникнув из прямого отражения природы, постоянно заимствуя из нее новые понятия, М. отделяет их от действительности, закрепляет их и идет дальше в значит. мере путем внутр. развития, путем логич. доказательства теорем, образования новых понятий, построения новых теорий. А эти теоремы, понятия, теории применяются потом к исследованию действительности. По мере восхождения ко все более высоким абстракциям связь М. с практикой, с действительностью становится все менее непосредственной и осуществляется через др. науки. Во-первых, она черпает в них новые задачи, новые понятия, источники новых теорий и импульсы к развитию. Напр., вся теория дифференц. уравнений возникла и развивается под решающим влиянием механики и физики. Во-вторых, М. выступает по отношению к др. наукам как метод формулировки количеств. закономерностей, как аппарат для построения и разработки теорий, как средство решения задач. Влияние М. распространилось в наст. время не только на точные науки (механику, астрономию, физику), но и на др. естеств. науки и нек-рые области обществ. наук. При этом М. служит не только средством исследования отд. вопросов (напр., математич. статистика применялась в обществ. науках уже давно), но также влияет на формирование новых понятий и теорий. М. приобретает все большее эвристич. значение, особенно в физике, где порой сначала пишутся уравнения, а потом выясняется их физич. смысл. Так было, напр., с квантовой механикой. Значение М. состоит именно в том, что она оказывается методом, своего рода "идеальной техникой", создающей аппарат для др. наук. Это ясно видно из таких выражений, как, напр., "математический аппарат квантовой механики", или из отношения римановой геометрии к общей относительности теории, для к-рой она явилась готовым аппаратом. Понимание М. как идеальной техники не противоречит ее определению как науки о "чистых" формах, поскольку дедуктивное исследование логически возможных чистых форм и есть построение математич. аппарата. Отделяя формы действительности от их содержания и придавая им характер самостоят. объектов, М. не просто копирует действительность, она упрощает и вместе с тем дополняет ее (напр., математич. континуум включает свойства, которыми не обладают реальные величины, т.к. они не имеют абсолютно точных значений). Это тем более верно в отношении логически возможных форм, определяемых внутри самой M.: они создаются, а не копируются, так же как далеко идущие логич. выводы из исхо ... смотреть

МАТЕМАТИКА

уч. предмет в школе, в содержание к-рого входят элементы арифметики, алгебры, начал анализа, евклидовой геометрии плоскости и пространства, аналитич. геометрии, тригонометрии. Преподавание М. направлено на овладение учащимися системой матем. знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения М. и смежных уч. предметов и решения практич. задач, на развитие логич. мышления, пространств. воображения, устной и письменной матем. речи, формирование навыков вычислений, алгебраич. преобразований, решения уравнений и неравенств, инструментальных и графич. навыков. М. как уч. предмет отличается от М. как науки не только объёмом, системой и глубиной изложения, но и прикладной направленностью изучаемых вопросов. Уч. курс М. постоянно оказывается перед необходимостью преодолевать противоречие между М. — развивающейся наукой и стабильным ядром М. — уч. предметом. Развитие науки требует непрерывного обновления содержания матем. образования, сближения уч. предмета с наукой, соответствия его содержания социальному заказу общества. Для совр. этапа развития М. — уч. предмета характерны: жёсткий отбор осн. содержания; чёткое определение конкретных целей обучения, межпредметных связей, требований к матем. подготовке учащихся на каждом этапе обучения; усиление воспитывающей и развивающей роли М., её связи с жизнью; систематич. формирование интереса учащихся к предмету и его приложениям. Первые сведения об обучении детей простейшим вычислениям встречаются в источниках по истории стран Др. Востока. Большое влияние на развитие шк. матем. образования, особенно в странах Европы, оказала матем. культура Др. Греции, где уже в 5 в. до н. э. в связи с развитием торговли, мореплавания, ремёсел в нач. школе изучались счёт и практич. геометрия. Немногие ученики крупных учёных получали геометрич. знания теоретич. характера: напр., в науч. школе Пифагора обучали доказательствам. Значит. вкладом в развитие шк. матем. образования стали учебник арифметики арм. учёного Анании Ширакаци (7 в.; содержал материал по иск-ву счисления), первый систематич. курс алгебры средне-азиат. математика и астронома аль-Хо-резми (9 в.). В 10—12 вв. в нач. курсы школ Европы (в т. ч. и Киевской Руси) включались элементарные матем. знания. С 12—13 вв. в гор. школах Зап. Европы изучались элементы арифметики (коммерч. вычислений и т. п.); геометрия по книгам Евклида (3 в. до н. э.) вплоть до 14—15 вв. изучалась только в нек-рых ун-тах и колледжах. В эпоху Возрождения в содержание обучения в школе кроме элементарных вычислений были включены арифметика, элементы алгебры и тригонометрия. Геометрия занимала вспомогат. место и применялась в основном для лучшего понимания астрономии. Целью изучения М. считалось как общее развитие учащихся, так и использование матем. знаний в нек-рых практич. отраслях, в воен. деле. Уже в 16 в. были опубликованы книги по практич. арифметике и геометрии, к-рые использовались в качестве учебников для купцов и ремесленников. Создание в нач. 17 в. аналитич. геометрии и анализа бесконечно малых сказалось на содержании уч. предмета и методах его преподавания. Расширялось светское шк. матем. образование. Подъём матем. образования в школе происходил в кон. 18 в. На содержание и структуру курса М. оказала влияние школа франц. математиков, к-рые создали новый тип уч. руководств по арифметике, геометрии, алгебре (С. Лакруа, А. Клеро, А. Лежандр, Э. Безу), сблизивших шк. М. с наукой. В России в нач. 19 в. программы по М. для приходских и уездных уч-щ и гимназий составлялись при участии математика Н. И. фусса и астронома С. Я. Румовского. В уч. план гимназий входили алгебра, геометрия, плоская тригонометрия, аналитич. геометрия, механика и физика. На изучение «чистой» и прикладной М. (вместе с опытной физикой) отводилось по 6 ч в неделю в 1 — 3-х кл., в 3—4-х кл. изучалась статистика. В программу ст. классов гимназии были включены начала математического анализа (о программах по М. для нач. школ см. в ст. Начальное образование). По Уставу 1828 преподавание реальных наук в гимназиях значительно ослаблялось, прикладная М. упразднялась, «чистая» была основательно сокращена. Циркуляр от 15 дек. 1845 «Об ограничении в гимназиях преподавания математики» предлагал ввести новое «распределение» уч. материала, ставшее первой официально утверждённой программой. Она устанавливала чёткие границы курса М., объём и последовательность изучения материала по классам. В 1851 под руководством М. В. Остроградского была создана программа по М. для воен. уч-щ, а в 1852 — для гимназий. В программе для гимназий особое внимание отводилось решению задач, межпредметным связям, и, несмотря на Значит. перегруженность при отсутствии нек-рых разделов (предел, функция, неравенства), она сыграла прогрессивную роль в становлении и развитии шк. матем. образования в России. Единая, стабильная общегос. программа по М. (1872), составленная при участии П. Л. Чебышева, представляла собой шаг вперёд по сравнению с программой 1852. В ней повысились требования к изучению теории, усилилась прикладная направленность обучения. Осн. недостаток состоял в том, что гл. целью преподавания считалось формально-умственное развитие учащихся. Реформа гимназич. образования 1890 не затронула содержания курса М.; более рациональное распределение материала по классам повысило доступность обучения, сокращение нек-рых разделов несколько упростило программу. Впервые ей предпосылалась объяснит, записка, к-рая содержала метод. указания, касавшиеся навыков устного счёта, введения отрицат. чисел, разложения многочленов на множители и т. д. Значит. место в записке отводилось преподаванию геометрии, подчёркивалось её значение для развития формально-логич. мышления. В 19 в. сложилась междунар. традиц. система матем. образования, для к-рой характерны: сформировавшийся курс элементарной М., не отражавший достижений 17—19 вв.; существование особых, преподаваемых эмпирически пропедев-тич. курсов арифметики и частично нач. геометрии, введённых Г. Песталоцци, И. Гербартом и А. Дистервегом. Самостоят. курсы арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии не были связаны друг с другом. Ученик получал готовые знания в единственной логич. системе и должен был усвоить и воспроизвести теорию при решении искусственно подобранных задач. Это была недостаточно эффективная система обучения. М. стала непреодолимым предметом для б. ч. учащихся (до 10% школьников не переходили в след, класс). К кон. 19-нач. 20 вв. развивается реформаторское движение в шк. матем. образовании. С критикой существовавшей системы образования в числе первых выступили педагоги-математики России и Германии. С. И. Шохор-Троцкий поставил вопрос. о единстве элементарной и высшей М.; В. П. Шереметевский выступил за сближение уч. предмета с наукой, утверждая, что осн. стержнем курса должна стать идея функции. На 1-м Междунар. матем. конгрессе {1897, Цюрих) нем. математик Ф. Клейн обосновал необходимость реформы матем. образования и сформулировал первые её принципы, к-рые легли в основу разработанной под его руководством «Меранской программы» (1905). В России в 1907 были разработаны программы для реальных уч-щ, отражавшие осн. требования сторонников реформы. В 1908 в Риме создана Междунар. комиссия по реформе матем. образования (през. Клейн), организованы 19 нац. подкомиссий (в России — пред. акад. Н. Я. Сонин). На 1-м и 2-м Всерос. съездах преподавателей М. (1911—12, 1913—14, Москва) были заложены основы новой системы шк. матем. образования, созданы журн. «Матем. образование 1912—17), «Матем. вестник» (1914—17). Реформа предполагала сближение уч. предмета с наукой, обновление содержания курсов, широкие межпредметные связи, формирование у учащихся функционально-аналитич., алгебраически-оперативного, конструктивного мышления и т. д. Деятельность сторонников реформы не привела к желаемым результатам, сложившаяся офиц. система шк. матем. образования по существу оставалась без изменения до 1917. В первые годы сов. власти был подготовлен — «Проект примерного плана занятий по М. на первой ступени единой трудовой школы-коммуны» (1918—19), к-рый представлял собой единую программу по М., без деления на предметы, составленную по годам обучения (классам). В неё включались арпфметич. действия над целыми и дробными числами, линейные уравнения, буквенная символика, графики, функциональная зависимость, основы техн. черчения (для гор. школ) и основы геодезич. черчения (для сел. школ). Составители программы чрезвычайно перегрузили её теоретич. материалом, пренебрегая возрастными возможностями учащихся. В 1921 науч.-пед. ин-том Главсоцвоса подготовлены программы, стремившиеся развить творческую активность учащихся, дать им глубокие знания, связать преподавание с жизнью. Однако эти программы были настолько перегружены, что школы вынуждены были составлять свои «программы-минимум». В 1923 введена комплексная система обучения. Из программ школ 1-й и 2-й ступени М. как самостоят. уч. предмет была исключена. В «Новых программах единой трудовой школы» (1924) признавалась чисто служебная роль М., отмечалось, что М. не должна изучаться в школе как «оторванный самодовлеющий» предмет; она служит упражнению детей в счёте и измерении изучаемых ими реальных вещей; и занятия М. начинаются только тогда, когда возникнет необходимость применять её условный и образный язык. В программах школ 2-й ступени матем. материал распределялся по комплексным темам (напр., теорема Пифагора включена в тему «Сов. строй и конституция СССР», отрицат. и дробные показатели — в тему «Империализм и борьба рабочего класса»). Комплексная система обучения связала изучение М. с практич. её приложением, но вместе с тем способствовала нарушению систематичности обучения, принижению роли теории. В соответствии с пост. ЦК ВКП(б) «О нач. и ср. школе» (сент. 1931) в программах для 10-летней школы был восстановлен систематич. курс М. Однако перегруженность программ, отсутствие межпредметных связей привели к необходимости исключения из курса 10-го кл. элементов аналитич. геометрии и матем. анализа; отд. темы этих разделов вошли в курс алгебры. Программы, утверждённые в 1934, без существенных изменений действовали до 1960. В сер. 20 в. развитие математики и проникновение её в разл. области знания потребовали пересмотра содержания матем. образования, введения новых программ для восьмилетней (I960) и ст. классов ср. школы (1963). Содержание программ 1—4-х кл. существенно не изменилось (нач. арифметика с элементами наглядной геометрии); в курсе М. 6—8-х кл. усилилась функциональная пропедевтика, увеличилось число практич. работ и упражнений на вычисление; с 8-го кл. предусматривалось изучение логариф-мич. линейки. В курсе геометрии сохранялись осн. разделы ранее действовавшей программы. Изменилась программа ст. классов. Курс «Алгебра и элементарные функции» включал нек-рые разделы тригонометрии, гармонич. колебания, производную и её применение к иссл. функций и др. Была исключена комбинаторика. В курс геометрии вошли планиметрия и систематич. курс стереометрии. Во 2-й пол. 20 в. началось новое междунар. движение за реформу шк. матем. образования, связанное с возрастанием роли матем. методов во мн. областях человеческой деятельности, усилением прикладного значения математики, матем. логики. Реформа имела две тенденции, одна диктовалась преим. прикладными задачами, другая — образовательными и была связана с изменением представлений об удельном весе разл. культурных ценностей, к-рыми должен овладеть человек в процессе обучения. Было выдвинуто неск. проектов программ, уч. пособий, учебников, пытавшихся установить разумное сочетание «классического» и «современного» в содержании шк. М. Напр., амер. программа «9 пунктов», рассчитанная на ст. классы, предполагала подготовку учащихся как в теории, так и в практике дифференциального и интегрального исчисления и аналитич. геометрии; уделяла одинаковое внимание дедукции в алгебре и геометрии, предусматривала разумное использование объединяющих идей (множество, переменные функции, отношения и др.). Новая программа по М., подготовленная под руководством А. Н. Колмогорова, вводилась в школу в 1969—76. Для неё характерны последоват. введение простейших понятий теории множеств и матем. логики, стремление группировать курс М. вокруг системы стержневых понятий (число, тождеств, преобразования, функция и т. д.). Широко использовались тео-ретико-множеств. и логико-матем. терминология и символика, в т. ч. новая для школы. Курс М. 4—5-х кл. рассматривался как единый, объединяющий элементы арифметики, алгебры и геометрии. Курс алгебры 6—8-х кл. ориентирован на систематич. формирование понятий числа, выражения, функции. Курс геометрии 6—8-х кл. строился на основе геометрич. преобразований, являвшихся не только предметом изучения, но и средством изучения свойств геометрич. фигур. Вводились элементы векторного исчисления (7-й кл.), предусматривалось знакомство с тригонометрич. функциями (8-й кл.). Курс алгебры и начал матем. анализа (9—10-е кл.) отличали строгость изложения, широкое использование матем. символики. Переход на новые программы способствовал проникновению в содержание матем. образования ряда практически важных понятий (производная, вектор и т. д.) и исключению нек-рых архаичных вопросов (напр., типовые арифметич. задачи, именованные числа). Однако реформа матем. образования не привела к желаемым результатам, более того, снизился уровень практич. подготовки выпускников школ. Обучение по новой программе в массовой школе показало, что теоретико-множеств. подход к построению шк. курса М. отличается высокой степенью абстракции, приводит к усложнению в изложении уч. материала, перегрузке учащихся, формализму в знаниях, отрыву обучения от практики. Снизились навыки вычислений, выполнения элементарных алгебраич. преобразований, решения уравнений. Наличие разл. путей получения общего ср. образования потребовало разработки единых основ матем. подготовки учащихся. В 1981 подготовлена базисная программа по М. для ср. уч. заведений, в 1982 — программы для восьмилетней и ср. школы. Преемственность обеспечивалась за счёт системы опорных матем. знаний, навыков и умений, остающихся относительно стабильными в течение продолжит, времени. При переходе от одной программы к другой, как правило, изменялась лишь трактовка вопросов, последовательность их изучения и система построения курса. Перестройка системы ср. образования, проводившаяся в связи с реформой ср. общеобразоват. и проф. школы (1984), потребовала усиления мировоззренч. направленности курса М., его воспитывающего воздействия (от формирования у школьников устойчивого интереса к предмету и его приложениям до создания правильных представлений о неразрывной связи М. с практикой, о роли математизации науки и матем. методов в решении практич. хоз. задач); прикладной и практич. направленности; роли самостоят. деятельности учащихся. Особое внимание отводится проблеме компьютеризации обучения, формирования компьютерной грамотности. В программе по М. (1986/87 уч. г.) усовершенствована внутр. структура, проведена разгрузка курсов, перераспределены отд. темы и вопросы по годам обучения. В курсе 5—6-х кл. осн. внимание уделяется созданию условий для формирования вычислит, культуры учащихся, усилен логич. компонент обучения. В курсе алгебры 7—9-х кл. осн. упор делается на формирование алгоритмич. культуры учащихся, выделяется формально-оперативная сторона курса. Трактовка оси, алгебраич. понятий ориентирована на их широкое применение в смежных дисциплинах. В программу этого курса были введены элементы «формульной тригонометрии», предусмотрено ознакомление учащихся с работой на микрокалькуляторе. В курсе алгебры и начал матем. анализа (10—11-е кл.) усилено внимание к интуитивно-наглядному представлению о производной и интеграле, их применению для решения прикладных задач математики и физики; введены нек-рые вопросы, ориентированные на применение математики для описания реальных процессов (понятие о матем. моделировании и др.). В курсе геометрии 10—11-х кл. делается упор на формирование умений конструкторской деятельности, систематизацию логич. навыков учащихся. В связи с введением (1985/86 уч. г.) курса «Основы информатики и вычислительной техники» в программе по М. усилено внимание к формированию матем. базы для изучения информатики. С этой целью курс М. насыщается примерами алгоритмов решения задач, усиливается логич. составляющая курса. Программа предусматривает раннее знакомство учащихся с микрокалькулятором и его использование в смежных дисциплинах (физика, химия и т. д.). Дальнейшее совершенствование содержания шк. матем. образования связано с требованиями, к-рые предъявляет к матем. знаниям учащихся практика: пром. произ-во, воен. дело, с. х-во, социальное переустройство и т. д. Движение за гуманизацию, демократизацию и деидеологи-зацию ср. образования, характерное для развития отеч. педагогики 90-х гг., оказало определённое влияние и на содержание шк. матем. образования. Идея дифференциации обучения проявилась в новом качестве — в профилизации ср. школы (особенно её ст. звена). В связи с возникновением в Рос. Федерации относительно нового типа школ (лицеев, гимназий, колледжей и др.) или классов разл. направлений (гуманитарного, техн., экон., физико-матем. и др.) разработаны разные программы по М., рассчитанные на разл. число уч. часов (от 3 до 9 ч в неделю). В программах для разл. типов школ была заложена и разл. номенклатура изучаемых вопросов. Напр., в программу по М. для гуманитарного профиля включены такие разделы, как описательная статистика, элементы теории вероятностей; в программу для техн. профиля — элементы теории игр, элементы линейного программирования и т. п. Рассматриваются возможности и более ранней профилизации общеобразоват. школы, к-рая может внести изменения и в содержание базовой матем. подготовки школьников. Учебники и учебные пособия по М. Первой рус. уч. книгой по М. была «Арифметика» Л. Ф. Магницкого (1703); в 1739 переведены на рус. яз. «Начала» Евклида. В 1740 издана «Универсальная арифметика» Л. Эйлера, в 1757 — «Универсальная арифметика» Н. Г. Курганова, вытеснившая из школ учебник Магницкого. В 1-й четв. 19 в. преподавание М. велось по трём учебникам: «Нач. основания математики» А. Г. Кестнера (пер. с нем., 1792—94); «Курс математики» Т. Ф. Осиповского (т. 1—3, 1801—23) до 1812 был осн. уч. пособием для гимназий, отличался полнотой и ясностью изложения, но превышал по объёму гим-назич. курс; учебник Н. И. Фусса «Нач. основания чистой математики» (ч. 1—3, 1810—12) стал первым стабильным учебником для гимназий (использовался до 1827). В 30-е гг. для употребления в гимназиях рекомендовались «Руководство к арифметике» (1830) и «Собрание арифметич. задач» (1832) Ф. И. Бус-се, к-рые по сжатости, простоте изложения превосходили существовавшие учебники. Они были продуманы и в метод. отношении: обучение начиналось с простых и наглядных истин, соблюдался постепенный переход к трудным понятиям, объяснения приводились раньше правил. В качестве задачника применялись «Арифметич. листки» П. С. Гурьева (1832), содержавшие 2523 задачи с решениями, расположенные в строгой последовательности от «легчайших к труднейшим». В 1830—80 в гимназиях использовался «Курс чистой математики» Бел-лавеня (пер. с франц., 1824, с доп. и изменениями П. Н. Погорельского). Знаменат. событием стало появление в 1834 книги Н. И. Лобачевского «Алгебра или вычисление конечных», отличавшейся строго логич. и систематич. изложением. Обучение геометрии в дорев. рус. школе велось по учебникам: «Курс математики» Осиповского (1801—02), «О началах геометрии» Лобачевского (1829—30), «Руководство к геометрии для гимназий» Буссе (1844). Осн. пособиями по тригонометрии были «Нач. основания плоской тригонометрии» Фусса (1804), «Тригонометрия» Ф. И. Симашко (1852), «Элементарная теория тригоно-метрич. линий и прямолинейная тригонометрия» И. Д. Соколова (1853) и др. Во 2-й пол. 19 в. в гимназиях использовались «Элементарная геометрия в объёме гимназич. курса» (1864) и «Нач. алгебра» (1866) А. Ю. Давидова, «Курс алгебры» (1868) А. Н. Страннолюбского. Осн. учебниками по всем разделам М. были книги А. Ф. Малинина (нек-рые в соавторстве с К. П. Бурениным), объединившие в себе учебник и сб. задач и упражнений. Их отличали ясность и живость изложения в сочетании с матем. строгостью. При объяснении каждого действия указывались его значение и те вопросы, к-рые могли быть решены с его помощью; каждый параграф заканчивался рядом вопросов, требовавших иногда самостоят. вывода из прочитанного. С 90-х гг. 19 в. в школе используются учебники А. П. Киселёва. После Окт. революции преподавание М. в ср. школе в основном велось по переработанным учебникам Киселёва (арифметика, алгебра, геометрия) и Н. А. Рыбкина (тригонометрия). После 1945 стабильными стали учебник Киселёва и задачники: по арифметике Е. С. Березан-ской, алгебре Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцева, геометрии Рыбкина. К переработке и редактированию шк. учебников были привлечены видные педагоги-математики А. Я. Хинчин и Н. А. Глаголев. Ставилась задача — сделать каждый учебник единым логич. систематизированным целым. Для этого в содержание включался материал, к-рый мог быть усвоен только в ст. классах; он набирался мелким шрифтом и при первом чтении учебника опускался. В 50-е гг. вышли новые учебники, к составлению к-рых были привлечены учителя-математики: сб. задач по арифметике С. А. Пономарёва и Н. Н. Сырнева; учебник по алгебре для 6—7-х кл. А. Н. Барсукова и сб. задач П. А. Ларичева; учебник по геометрии для 6—7-х кл. H. H. Никитина и сб. геометрич. задач Никитина и Г. Г. Масловой; учебник по тригонометрии С. И. Новосёлова и сб. задач П. В. Стратилатова. В 1954 введены учебники арифметики для нач. школы А. С. Пчёлко и Г. Б. Поляка; для 4—5-х кл. — Н. И. Шевченко. В 60 с гг. изданы «Арифметика» И. К. Андронова, и В. М. Брадиса, учебники по алгебре Д. К. Фаддеева и И. С. Сомин-ского; П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова; по геометрии Д. И. Перепёл-кина, А. И. Фетисова; по тригонометрии Б. Б. Пиотровского, А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника и др. После 196&amp; изданы учебники по М. для 1—3-х кл. М. И. Моро и др. и для 4—5-х кл. Н. Я. Виленкина и др.; по алгебре для 6—8-х кл. Ю. Н. Макарычева и др.; по геометрии для 6—8-х кл. Колмогорова и др.; по алгебре и началам анализа для 9—10-х кл. Колмогорова и др.; по геометрии для 9—10-х кл. 3. А. Скопеца и др. В 1979 разл. авторскими коллективами подготовлены пробные учебники. Пробный учебник по геометрии А. В. По-горелова был утверждён в качестве общесоюзного (1982). С 1990 в школах Рос. Федерации применяются параллельные учебники. По алгебре для 7—9-х кл. — учебники под ред. С. А. Теляковского и учебники Ш. А. Алимова и др.; по геометрии для 7—9-х и для 10—11-х кл. — учебники А. В. Погорелова и учебники Л. С, Атанасяна и др.; по алгебре и началам анализа для 10—11-х кл. — учебники под ред. А. Н. Колмогорова и учебники Алимова и др. Изданы эксперим. учебники для классов разл. профилей (напр., для физ.-мат. — учебники по геометрии А. Д. Александрова и др.; для гуманитарного профиля — учебники математики В. Ф. Бутузова и др.). Методика преподавания М. начала разрабатываться Я. А. Коменским. Нек-рые вопросы нач. обучения арифметике рассмотрены им в «Великой дидактике» (1657). Методика обучения счёту раскрывалась в «Руководстве учителям первого и второго классов нар. уч-щ, Рос. империи» Ф. И. Янковича (1783). Методика обучения М. впервые выделилась как самостоят. дисциплина в книге И. Г. Песталоцци «Наглядное учение о числе» (1803, рус. пер. 1806). В 18нач. 19 вв. метод. вопросы излагались в основном в учебниках. Первым пособием по методике М. в России стала книга Буссе «Руководство к преподаванию арифметики для учителей» (1831). Создателем рус. методики арифметики для нар. школы считается П. С. Гурьев, к-рый критерием правильности решения метод. проблем признавал опыт и практику. Большое значение для постановки преподавания арифметики в рус. школе имели «Методика арифметики» В. А. Евтушевского (1872), метод. пособия для учителей и учащихся А. И. Голеденберга (1885). Крупнейшим методистом математиком дореволюц. России был Шохор-Троцкий. Разработанный им «метод целесообразных задач» используется в совр. школе Рос. Федерации. Методы Шохор-Троцкого рассчитаны на то, чтобы сберечь силы ребёнка, пробудить в нём интерес и любознательность, поддержать самодеятельность и самостоятельность. Первый труд по методике геометрии принадлежит А. Н. Острогорскому («Материалы по методике геометрии», 1883), Методика алгебры разрабатывалась в трудах Страннолюбского, В. П. Ермакова, Шереметевского, К. Ф. Лебедин-цева и др. Разработке сов. методики преподавания М. способствовала организация секции методики М. в Программно-метод. ин-те (осн. в 1931). Были изданы «Методика арифметики» Шохор-Троцкого (1935), «Методика алгебры» И. И. Чистякова (1934), «Геометрия. Метод. пособие» Р. В. Гангнуса и Ю. О. Гурвица (1934—35). К 1950 вышли «Алгебра» (книга для учителя) В. Л. Гончарова (ч. 1—2, 19491950), метод. пособия В. М. Брадиса, Д. И. Перепёлкина, Н. Ф. Четверухина, А. И. Фетисова и др. В 1960—80 изданы: «Методика преподавания математики в восьмилетней школе», под ред. С. Е. Ляпина (1965), «Методика преподавания математики в ср. школе» Ю. М. Колягина и др. (1975; ), «Методика обучения математике в 4—5-м классах» Е. И. Лященко, А. А. Мазаника (1976), «Дидактика математики» Н. В. Метельского (1975). Изд-во «Просвещение» выпускает серии книг «Библиотека учителя математики», брошюр для учителей по актуальным вопросам методики М. и брошюры для учащихся. К каждому действующему учебнику издаётся комплект уч.-метод. пособий, включающий книгу для учителя, дидактич. материалы, таблицы и т. д. Изд-вом «Наука» выпущен ряд книг по М. ведущих учёных-математиков (С. М. Никольского, Л. С. Понтрягина, А. Н. Тихонова) для учителей и учащихся ст. классов. Большую метод. помощь учителям оказывает журн. «Математика в школе» (осн. в 1927, до 1936 выходил под др. названиями). Среди учащихся и учителей популярен журн. «Квант» (1970), освещающий, в частности, вопросы совр. математики. Отеч. методика преподавания М. строится на основе дидактич. принципов обучения, с учётом возрастных и индивидуальных возможностей учащихся. Широко используются методы целесообразных задач, эвристич. и вопросно-ответный, самостоят. работы учащихся. Большое внимание уделяется упражнениям в решении задач, доказательстве теорем, устном счёте и т. д., работам измерит., расчётного и конструктивного характера, графическим (с построением и анализом графиков, схем, таблиц, диаграмм); моделированию — построению моделей задач, теорем. Важное место на уроках М. отводится работе на микрокалькуляторе, тренажёре и т. д. Межпредметные связи реализуются не только в содержании, но и при использовании приёмов и методов обучения. В распоряжении учителя М. имеются разл. средства обучения, наглядные уч. пособия (модели, таблицы, чертежи и пр.), выпускаемые пром стью, и самодельные, изготовленные учащимися на практич. занятиях. Возрастающая роль ТСО, наглядных пособий приводит к необходимости создания в каждой школе специа-лизиров. кабинетов М. Перспективна организация в школах автоматизиров. классов. Внеклассная работа по М. является одной из форм индивидуализации обучения. Различают занятия с отстающими учащимися (доп. занятия) и занятия с учащимися, проявляющими к М. повышенный интерес и способности. Тематика внеклассных занятий по М. не ограничивается углублённым изучением программных вопросов, а также ист. экскурсами по той или иной теме, решением задач повышенной трудности. В их тематику включается знакомство с новыми направлениями в науке: комбинаторика, теория вероятностей и пр. Повышению интереса учащихся к М. способствуют факультативные и кружковые занятия, викторины, конкурсы и олимпиады, ма-тем. вечера, экскурсии и т. д. Большой популярностью среди учащихся пользуются юношеские матем. школы, заочные матем. школы и др., матем. школы при крупнейших ун-тах. Преподавание М. в зарубежной школе. Разл. варианты теоретико-множеств. построения шк. курса М., характерные для заруб. школы 60—70-х гг., за последнее десятилетие практически исчерпали себя, особенно в массовой школе. В школах развитых стран Значит. место в программах по М. отводится теории вероятностей и статистике. В программах школ Японии раздел «Статистика» является основным уже в 1-м кл. нач. школы. Элементы теории вероятностей на строгой матем. основе вводятся в ст. классах школ Бельгии и Франции. Геометрия как самостоят. уч. предмет во мн. школах не изучается, отд. её вопросы включены в курс арифметики, алгебры и начал матем. анализа. Распространившееся с 60-х гг. в среде учителей математики (США, Великобритании и др. стран) требование «Евклид должен уйти!» явилось реакцией на неудовлетворённость традиц. системой изложения геометрии. Концепция аксиоматич. изложения курса (60-е гг.) не оправдала себя. В большинстве развитых стран матем. образование на ст. ступени общеобразоват. подготовки дифференцировано, условно разделено на 4 группы: программы академич. потоков, общих потоков, технич. (с усилением прикладного аспекта курса) и проф.-технических. В число курсов по выбору на академич. потоке входят «Статистика», «Линейная алгебра», «Информатика» и т. д. В нек-рых странах (напр., в Японии) распространены небольшие интегриров. спец. курсы — по физике, биологии, химии, иллюстрирующие роль М. в описании и изучении явлений и фактов. В кон. 60-х гг. широкое распространение в США, Австралии и др. странах получила идея создания интегриров. естеств.-матем. курсов («Землеведение», «Природа и человек», «Земля и естеств. науки» и др.). В классах, где обучение М. не является обязательным, или «элитных» школах сохраняется высокий теоретич. уровень матем. подготовки учащихся. Объём знаний выпускников ср. школ определяется программами вступит, экзаменов в вузы (для каждого вуза они различны). Во Франции, в соответствии с новой программой, уже в нач. классах (учащиеся в возрасте 6—11 лет) вводятся элементы алгебры, элементарные теоретико-множеств. понятия, развиваются первые топологич. представления учащихся, закладываются основы логич. мышления. В ср. классах усилено внимание к изучению функций, геометрич. преобразований, векторов. Теоретико-множеств. понятия и элементы матем. логики не являются предметом самостоят. изучения, а служат основой для объединения разл. тем. Матем. подготовка в ст. классах (возраст учащихся 15—18 лет) дифференцируется в соответствии с профилем специализации. Однако независимо от специализации выпускники франц. ср. школы получают Значит. ооъём сведений по матем. анализу и теории вероятностей. На всех ступенях обучения большую роль играет развитие функциональных представлений, овладение матем. методами, формирование исследоват. навыков. Номенклатура содержания шк. курса М. в странах Вост. Европы практически одинакова, однако в способах его изложения в учебниках и методах преподавания в каждой стране имеются особенности, представляющие известный интерес. В школе Польши традиционно сохраняется достаточно высокий теоретич. уровень курса М. (в т. ч. за счёт изложения элементов теории множеств). Преподавание М. в школе Чехии и Словакии отличается ориентацией на жизненные, практич. ситуации. В школах Болгарии уже с нач. классов последовательно проводится алгебраич. пропедевтика; в 78-х кл. учащиеся знакомятся с теоретико-множеств. подходом, элементами логики, разл. связями М. с др. уч. предметами и практикой. С введением курсов профориентац. типа по выбору учащихся возросли возможности организации спец. занятий со школьниками, имеющими интерес, склонности и способности к М., в кружках, школах, лекториях Союза математиков Болгарии, физ.-мат. классах, матем. гимназиях и т. д. В школах Венгрии с 1978/79 уч. г. помимо традиц. тем изучаются комбинаторика, аналитич. геометрия, вычислит, техника и др. В обучении приёмам анализа и синтеза осуществляются межпредметные связи, применяются методы моделирования. Особенностью венг. программы является определённая дифференциация в изучении отд. вопросов: весь уч. материал для гимназий делится на 2 части — основную (обязательна для всех учащихся) и дополнительную. Для каждого класса существует 2 учебника по М.: один написан традиционно, другой соединяет в себе учебник и рабочую тетрадь с печатной основой и предназначен для более цельного приобретения новых знаний, их закрепления и систематизации. В нём содержатся задания, рассчитанные на обязательное самостоят. выполнение всеми учащимися как на уроке, так и дома. В 80-е гг. наметилась тенденция к сокращению кол-ва часов на изучение М., к-рое компенсируется более глубоким изучением предмета и развитой системой факультативных курсов. Лит.: Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., т. 1—2, М.-Л., 1933—342; Андронов И. К., Полвека развития шк. матем. образования в СССР, М., 1967; его же, Три этапа в развитии междунар. шк. матем. образования в XIX — XX вв., МШ, 1967, № 4;Маркушевич А. И., К вопросу о реформе шк. курса математики, там же, 1964, № 6; Соболев С. Л., Преподавание математики в Сов. Союзе, там же, 1973, № 1; История матем. образования в СССР, К., 1975; Хрестоматия по истории математики, [т. 1 — 2], М., 1976—77; Г и с д с н-к о Б. В., Математика и матем. образование в совр. мире, М., 1985; Метель-с к и и Н. В., Дидактика математики, Минск; Столяр А. АПедагогика математики, Минск, 19S63; С о и с p У. У., Прелюдия к математике, пер. с англ., М., 1972; его же, Путь в совр. математику, пер. с англ., М., 1972; Фройденталь Г., Математика как пед. задача, ч. 1 — 2, М., 1982—83; Математика. Уч. пособие для студентов пед. ин-тов, М., 1977; Методика преподавания математики в ср. школе. Частные методики, М., 1977; Методика преподавания математики в ср. школе. Общая методика. Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр, М., 1985; II о и а Д., Как решать задачу, пер. с англ., M., 1962; Кудрявцев Л. Д., Совр. математика и ее преподавание, M.; Л о и д С., Матем. мозаика, пер. с англ., M.; Фридман Л. М., Учитесь учиться математике, М., 1985; О л с х-ник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К., Старинные занимат. задачи, М. 1985; Оборудование кабинета математики, M.; Верченко А. И., Матем. подготовка выпускников ср. школы Франции, МШ, 1981, N 2; Л а х т и — и с и В. Э., Система матем. образования в Финляндии, там же, 1982, № 3; С а б о А. М., Преподавание математики в школах ВНР, там же, 1984, N 4; Ганчев И., Кучинов И., Обучение математике в НРБ. там же, 1985, № 6. Ю. М. Калягин.... смотреть

МАТЕМАТИКА

- наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас коли... смотреть

МАТЕМАТИКА

        (от греч. mathema — значение, наука). В эпоху античности уровень развития М. был очень высок. Греки использовали накопл. в Вавилонии и Египте а... смотреть

МАТЕМАТИКА

рефлексия, исходящая из анализа математического умозаключения, чтобы вывести из этого общую теорию функционирования человеческого ума. Что является объектом математики? Мы знаем, что математика начала развиваться в Египте (двадцать веков до Р.Х.) с целью перераспределения участков земли, которое приходилось производить каждый год после разлива Нила. Так родилась геометрия в этимологическом смысле этого слова (измерение земли). Наука о числах и измерение фигур были открыты пифагорейцами (VI в. до Р.Х.). Теорема Пифагора была открыта в процессе наблюдения над треугольными плитами, которыми был вымощен пол в домах. Математическое доказательство конструирует определенный объект с линейкой и циркулем. Греческий философ Зенон из Элей (V в. до Р.Х.) своими знаменитыми парадоксами («Ахилл и черепаха», стрела, не попадающая в цель) уже тогда хотел доказать, что движение — это реальность для чувств, но что его нельзя помыслить, что оно не существует рационально; он утверждал, что мир разделяет чувственную реальность и реальность математическую, или логическую. Однако должно было пройти двадцать веков, прежде чем Декарт (XVII в.) заменил математическим анализом простое построение фигур, так что на смену фигурам пришли уравнения. Лейбниц (XVII в.), изобретая исчисление бесконечно малых величин (одновременно с Ньютоном), помещает математический объект за пределы допустимого чувственного представления. Отныне математические системы будут развиваться независимо от любых соотношений с чувственной реальностью: если Евклид («Начала геометрии», III в. до Р.Х.) опорой для своей геометрии сделал аксиомы (аксиома — это самоочевидный принцип), математики будут исходить из постулатов (чисто абстрактных принципов), ценность которых измеряется исключительно полнотой тех следствий, которые можно из них вывести. Так, русский математик Лобачевский (1792-1856) построит свою систему исходя из гипотезы (или постулата), что можно провести не одну только, но бесконечное множество параллельных линий к прямой в одной точке. Немецкий математик Риман будет исходить из противоположного постулата (невозможно провести ни одной параллельной прямой к прямой в одной точке), чтобы построить новую геометрическую систему, вообще не соответствующую воспринимаемой нами реальности, но абсолютно когерентную. Считается, что математическая истина имеет гипотетико-дедуктивную природу: смысл термина определяется лишь через его отношения с другими терминами. Математическая истина определяется теперь не как соответствие мысли реальности, но как самосогласованность мысли в комбинациях знаков или символов, выводимых из правил (или аксиоматик), постулированных вначале. Математика и реальность. Стоит заметить, что Эйнштейн смог построить свою теорию относительности лишь в опоре на геометрию Рима-на и что только на основе его исчислений стала возможной разработка атомной бомбы (против использования которой он всегда выступал). «Самое удивительное, — писал Эйнштейн,— то, что самые формальные, самые абстрактные математические умозаключения, в конце концов всегда расширяют наше знание о мире». «Самая непостижимая вещь — это то, что мир постижим». Это чудо соответствия самого сложного математического формализма и реальности мира воспринималось Эйнштейном как «космический религиозный опыт», делающий возможным «самые мощные и благородные научные исследования». Это чувство, которое можно назвать общностью природы разума и опыта, было описано уже Кантом в его работе «Критика способности суждения» (1790) в форме эстетического чувства. Математика и философия. Декарт в «Рассуждении о методе» (1637) попытался применить к философскому размышлению метод, позволяющий математически связать ясные и очевидные положения. «Эти длинные цепочки таких простых и легких доводов, которыми обычно пользуются геометры в своих наисложнейших доказательствах, навели меня на мысль, что все те вещи, которые попадают в поле человеческого познания, соединяются точно так же и что если только мы воздержимся от того, чтобы считать какую бы то ни было из них истинной, и будем сохранять последовательность, необходимую для выведения одних из других, то самые далекие вещи окажутся достижимыми и самые скрытые можно будет раскрыть». Лейбниц на протяжении всего своего творчества (начиная с «De arte combinatoria», 1666 вплоть до «Новых опытов о человеческом разуме», 1704) мечтал определить логику или комбинаторику человеческих мыслей, «универсальную математику», или «искусство непогрешимости», которое позволило бы связать суждения «таким образом, чтобы мы были уверены в безошибочности». Стоит заметить, что мировоззрение Лейбница, изложенное в его философии («Монадология», 1714), исходит из размышления над исчислением бесконечно малых. Неокантианство Мар-бургской школы (вторая половина XIX в.) развивало кантианскую теорию познания, воспринятую как размышление над физикой Ньютона, в направлении математической логики, в которой должны отразиться высшие функции ума. Философия математики, как правило, представляет собой анализ умственных операций при математическом построении, или эпистемологию математики. Именно в таком виде она была изложена в «Principia Mathematica» (1910-1913) Рассела и во Франции в переводе Кавайеса выполненном, в частности, Дезанти. См. Умозаключение, Логика. ... смотреть

МАТЕМАТИКА

   • Mathematĭca,         τὰ μαθηματικά или μαθήματα, означает в известном смысле все вообще научные познания, в специальном же смысле такие, в которы... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА(греч.). Наука о величинах, вообще о том, что можно выразить цифрами.Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.- Чудинов А.Н... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКАМатематику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные конкретные интерпретации; например, соотношение 2 + 3 = 4 + 1 соответствует утверждению, что две и три книги составляют столько же книг, сколько четыре и одна. Любое соотношение типа 2 + 3 = 4 + 1, т.е. отношение между чисто математическими объектами без ссылки на какую бы то ни было интерпретацию из физического мира, называется абстрактным. Абстрактный характер математики позволяет использовать ее при решении самых разных проблем. Например, алгебра, рассматривающая операции над числами, позволяет решать задачи, выходящие за рамки арифметики. Более конкретным разделом математики является геометрия, основная задача которой - изучение размеров и форм объектов. Сочетание алгебраических методов с геометрическими приводит, с одной стороны, к тригонометрии (первоначально посвященной изучению геометрических треугольников, а теперь охватывающей значительно больший круг вопросов), а с другой стороны - к аналитической геометрии, в которой геометрические тела и фигуры исследуются алгебраическими методами. Существуют несколько разделов высшей алгебры и геометрии, обладающих более высокой степенью абстракции и не занимающихся изучением обычных чисел и обычных геометрических фигур; самая абстрактная из геометрических дисциплин называется топологией.Математический анализ занимается изучением величин, изменяющихся в пространстве или во времени, и опирается на два основных понятия - функцию и предел, которые не встречаются в более элементарных разделах математики. Первоначально математический анализ состоял из дифференциального и интегрального исчислений, но теперь включает в себя и другие разделы.Различают две основные области математики - чистую математику, в которой акцент делается на дедуктивные рассуждения, и прикладную математику. Термин "прикладная математика" иногда относят к тем ветвям математики, которые созданы специально для того, чтобы удовлетворить запросы и требования науки, а иногда - к тем разделам различных наук (физики, экономики и т.п.), которые используют математику как средство решения своих задач. Многие распространенные заблуждения в отношении математики возникают в результате смешения этих двух толкований "прикладной математики". Арифметика может служить примером прикладной математики в первом смысле, а бухгалтерский учет - во втором.Вопреки широко распространенному мнению, математика продолжает быстро развиваться. Журнал "Математическое обозрение" ("Mathematical Review") публикует ежегодно ок. 8000 кратких резюме статей, содержащих последние результаты - новые математические факты, новые доказательства старых фактов и даже сведения о совершенно новых областях математики. Существующая ныне тенденция в математическом образовании заключается в стремлении познакомить учащихся с современными, более абстрактными математическими идеями на более ранних стадиях преподавания математики. См. также МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ. Математика - один из краеугольных камней цивилизации, однако очень немногие люди имеют представление о современном состоянии дел в этой науке. Математика за последние сто лет претерпела огромные изменения, касающиеся как предмета, так и методов исследования. В данной статье мы попытаемся дать общее представление об основных этапах эволюции современной математики, главными результатами которой можно считать, с одной стороны, увеличение разрыва между чистой и прикладной математикой, а с другой - полное переосмысление традиционных областей математики.См. также:МАТЕМАТИКА: РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДАМАТЕМАТИКА: СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКАМАТЕМАТИКА: КЛАССИФИКАЦИЯМАТЕМАТИКА: ФИЛОСОФСКИЕ ТРУДНОСТИМАТЕМАТИКА: МАТЕМАТИКА И РЕАЛЬНЫЙ МИР... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКАМежду духом и материей посредничает математика. Хуго Штейнхаус Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к матема... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМА́ТИКА, и, ж.Наука про кількісні співвідношення та просторові форми дійсного світу.Він тут удома всі книжки залишив і тільки з своєю математикою в... смотреть

МАТЕМАТИКА

— наука о количественных отношениях самих по себе, взятых в отвлечении от их действительных носителей, от качественной стороны объектов, или, как говорят, «о количественных отношениях в чистом виде» (Ф. Энгельс, АЛ. Колмогоров). Иногда математику определяют как науку «об абстрактных структурах» (Н. Бурбаки). Понятие «абстрактной структуры» очень близко по содержанию понятию «форма» в ее теоретико-множественном определении, поэтому иногда математику определяют как науку «о формах». (П.С. Александров). Для более однозначного понимания предмета математики важно четкое определение категорий «количество», «число», «форма», «абстрактная структура». В определении Энгельса —Колмогорова число рассматривается как частный случай количества, то есть только как метрически заданное количество. Другим видом количества выступают тогда пространственные и топологические отношения, метрика которых не задана. С другой стороны, «количество» в широком понимании может истолковываться как частный случай «формы» и даже как тождественное ему понятие. Наконец, понятие «абстрактной структуры», с одной стороны, шире интуитивно-содержательного понимания предмета математики (ибо, по крайней мере, логические структуры заведомо являются абстрактными структурами), а, с другой стороны, если под «абстрактными структурами» иметь в виду только «математические структуры», тогда определение математики как «науки об абстрактных структурах» будет очень точным, но тавтологическим. В любом случае важно иметь в виду, что современная математика представляет собой очень сложную многоуровневую и многоаспектную конструкцию. В ней различают «чистую» и «прикладную» математики, формальные и содержательно-интерпретированные теории, конструктивную и неконструктивную (классическую) математику, в которых используются существенно различные средства, методы и критерии приемлемости математических теорий и доказательств. Если при этом иметь в виду очень большое число различных математических дисциплин со своими частными предметами и проблемами (по отношению к общему предмету математики), то становится понятной та огромная мощь и влияние, которые оказывает математика на развитие всей современной науки и культуры. И это влияние благодаря поразительной точности, доказательности и эффективности математического знания будет в дальнейшем только возрастать. (См. количество, форма, вывод, доказательство).... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА (греч . mathematike, от mathema - наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв. потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию "пространств", весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь - вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.<br><br><br>... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА (греч. mathematike - от mathema - наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв. Потребности бурно развивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т.д.) привели к введению в математику идей движения и изменения, прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В 18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию "пространств", весьма частным случаем которых является евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и др. Практическое освоение результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв. численные методы математики вырастают в самостоятельную ее ветвь - вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, "математизация" различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлению целого ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.<br>... смотреть

МАТЕМАТИКА

- (греч. mathematike - от mathema - наука), наука, в которойизучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в.математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах исравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины,площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные. К этому периодуотносится возникновение арифметики, геометрии, позднее - алгебры итригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа.Областью применения математики являлись: счет, торговля, землемерныеработы, астрономия, отчасти архитектура. В 17 и 18 вв. потребности бурноразвивавшегося естествознания и техники (мореплавания, астрономии,баллистики, гидравлики и т. д.) привели к введению в математику идейдвижения и изменения, прежде всего в форме переменных величин ифункциональной зависимости между ними. Это повлекло за собой созданиеаналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. В18 в. возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений,дифференциальная геометрия и т. д. В 19-20 вв. математика поднимается нановые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишьчастными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрияпереходит к исследованию ""пространств"", весьма частным случаем которыхявляется евклидово пространство. Развиваются новые дисциплины: теорияфункций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия,неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика,функциональный анализ и др. Практическое освоение результатовтеоретического математического исследования требует получения ответа напоставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в 19-20 вв. численныеметоды математики вырастают в самостоятельную ее ветвь - вычислительнуюматематику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемкихвычислительных задач привело к созданию вычислительных машин. Потребностиразвития самой математики, ""математизация"" различных областей науки,проникновение математических методов во многие сферы практическойдеятельности, быстрый прогресс вычислительной техники привели к появлениюцелого ряда новых математических дисциплин; таковы, напр., теория игр,теория информации, теория графов, дискретная математика, теорияоптимального управления.... смотреть

МАТЕМАТИКА

(греч. mathematike, от mathe-ma - наука), наука, в к-рой изучаются пространственные формы и количественные отношения. До нач. 17 в. М.- преим. наука о ... смотреть

МАТЕМАТИКА

матема́тика сущ., ж., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? матема́тики, чему? матема́тике, (вижу) что? матема́тику, чем? матема́тикой, о чём? ... смотреть

МАТЕМАТИКА

Видеть сон, так или иначе связанный с математикой, означает, что вам придется заняться делом, если и не связанным с какими-то расчетами, то требующим точности и неукоснительности в исполнении.Если вам приснился некий номер, то наяву он может стать счастливыми или роковым для вас в зависимости от ситуации, в которую вы попадете.Писать во сне какой-то номер предвещает, что вам предстоит сверхурочная работа. Если вы во сне стираете или замазываете номер либо меняете его – в реальности обманетесь в своих ожиданиях. Вытягивать во сне выигрышный номер предвещает, что вскоре можете поменять работу на лучшую.Видеть во сне цифры предвещает материальные затруднения и хлопоты, крайнее душевное утомление и болезнь. Увиденные во сне большие числа означают неопределенное состояние ваших дел, которое станет причиной вашего беспокойства. Увиденный во сне ноль означает неудачу в делах, досаду и раздражительность.Видеть единицу или число одиннадцать – счастливый знак признания в обществе, который, однако, принесет и некоторые трудности, а число с еще большим количеством единиц сулит еще большее беспокойство.Двойка в любом случае предвещает сплетни и злословие по вашему адресу.Тройка означает удачное разрешение сложного вопроса путем коллективного обсуждения.Четыре однозначно говорит о напрасно затраченных усилиях в бесперспективном деле.Пять – предстоит отчаянный спор в попытках доказать свою правоту и утвердить истину.Шесть – знак двуличия, обмана и хитрости, который предупреждает не быть легковерной и наивной.Семь – искони счастливый во всех отношениях знак удачи, везения и успехов.Восемь – знак неопределенности в судьбе или стабильности и постоянства без перемен и изменений ни в худшую, ни в лучшую сторону.Девять – хороший признак крупного выигрыша в случае удачи и возможности избежать потерь при неблагоприятном исходе.Тысяча – предвестие того, что вскоре можете получить очень много денег.... смотреть

МАТЕМАТИКА

наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о правилах исчисления этих объектов. Чистая математика занимается величинами как таковыми, прикладная математика имеет дело с измеримыми и исчислимыми явлениями, т.е. с именованными числами. Чистая математика в состоянии вывести, просто *вычислить*, свои результаты с помощью некоторых простых понятий и предположений, *аксиом*, посредством чисто логических заключений, с правильностью которых должно согласиться каждое здравомыслящее существо (*математическая* достоверность, строгая аргументация). Математические построения .относятся к сфере идеального бытия (см. Бытие) и априорного понимания; они становятся лишь носителями апостериорного познания, поскольку могут быть *применены* к эмпирическим взглядам (Кант). На развитие философии математики, т.е. вопроса о ее собственной сущности и ее действительно высших положениях (см. Аксиома) и вопроса о ее значении для теории познания и логики, в новейшее время влияли и влияют Фреге, Рассел, Гильберт, Брауер, или т. н. (математическое) *исследование основ* (см. Логистика). Оно обнаруживает *кризис принципов*, углублению которого препятствуют (математический) формализм (Гильберт) и (математический) интуитивизм (Брауэр); это исследование пространно объясняет кризис, но не устраняет его полностью. Оно способствует также важному пониманию того, что в математике существуют неразрешимые вопросы (теорема Геделя). С др. стороны, для обширной области математики может быть приведено окончательное доказательство ее непротиворечивости (Гильберт, Генцен).... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА Между духом и материей посредничает математика. Хуго Штейнхаус Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. Джордж Сантаяна Он стал поэтом - для математика у него не хватало фантазии. Давид Гильберт об одном из своих учеников Чистая математика - это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. Бертран Рассел Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно. Хуго Штейнхаус В математике нет символов для неясных мыслей. Анри Пуанкаре Мы не можем понять эту формулу, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали ее и поэтому знаем, что она должна быть достоверной. Некий профессор математики об одной из теорем Л. Эйлера Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру. Альберт Эйнштейн Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину. Славомир Врублевский Арифметику невозможно понять, в нее приходится верить. Мария Кунцевич Аксиома - это истина, на которую не хватило доказательств. В. Хмурый «Если... то...» - если это не математика, то это шантаж. Хенрик Ягодзиньский Значение синуса в военное время может достигать четырех. Армейский фольклор Любая формула, включенная в книгу, уменьшает число ее покупателей вдвое. Стивен Хокинг... смотреть

МАТЕМАТИКА

(от греч. mahtematike и mahtema — познание, наука) — наука (группа наук) о количественных отношениях и пространственных формах реального (действительного) мира, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально — о математических множествах и величинах. Математические построения относятся к сфере идеального бытия и априорного понимания; они становятся лишь носителями апостериорного познания, поскольку могут быть «применены* к эмпирическим взглядам. Несмотря на строгость математических допущений (аксиом, постулатов) в математике существуют неразрешимые вопросы или неполнота принятых допущений, доказанная австрийским математиком и логиком Куртом Геделем в 1931 году. Неполнота систем является одним из важных критериев научности. Начала современного естествознания. Тезаурус. — Ростов-на-Дону.В.Н. Савченко, В.П. Смагин.2006. Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА, наука, изучающая свойства чисел, пространства и формы, а также делающая дедуктивные предположения по поводу абстрактных категорий. Часто де... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА (от греческого mathema - знание, учение, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего нас мира. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки возникло в Древней Греции в 6 - 5 вв. до нашей эры. Математика объединяет комплекс дисциплин: арифметика (теория чисел), алгебра, геометрия, математический анализ (дифференциальное исчисление и интегральное исчисление), теория множеств, теория вероятностей и многое другое. Математика характеризуется: а) высокой степенью абстрактности ее понятий (точки - без размеров, линии - без толщины, множества любых предметов и т.п.); б) высокой степенью их общности (например, в алгебре буква обозначает любое число, в математической логике рассматриваются произвольные высказывания и т.п.). Абстрактность и общность понятий математики позволяют один и тот же математический аппарат применять в различных науках. <br>... смотреть

МАТЕМАТИКА

(от греческого mathema - знание, учение, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего нас мира. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки возникло в Древней Греции в 6 - 5 вв. до нашей эры. Математика объединяет комплекс дисциплин: арифметика (теория чисел), алгебра, геометрия, математический анализ (дифференциальное исчисление и интегральное исчисление), теория множеств, теория вероятностей и многое другое. Математика характеризуется: а) высокой степенью абстрактности ее понятий (точки - без размеров, линии - без толщины, множества любых предметов и т.п.); б) высокой степенью их общности (например, в алгебре буква обозначает любое число, в математической логике рассматриваются произвольные высказывания и т.п.). Абстрактность и общность понятий математики позволяют один и тот же математический аппарат применять в различных науках.... смотреть

МАТЕМАТИКА

(греч. matheciatike, от mathema - знание, учение, наука) - наука о количеств. отношениях и пространств, формах действит. мира. М. объединяет комплекс д... смотреть

МАТЕМАТИКА

1) Орфографическая запись слова: математика2) Ударение в слове: матем`атика3) Деление слова на слоги (перенос слова): математика4) Фонетическая транскр... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА ж. наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике. - чистая, занимается величинами отвлеченно; - прикладная, прилагает первую к делу, к предметам. Математика делится на арифметику и геометрию, первая располагает цифрами, вторая протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика (включающая в себе и алгебру) добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа. Прикладная математика, по предмету зовется: механикою, оптикою, геодезиею и пр. Математический, -тичный, к науке этой относящ. Доказать что математически, цифрами, счислением, бесспорно, как дважды два. -тичность ж. свойство всего, что подлежит математике, цифры и величины. Математик м. сведущий в науке этой. <br><br><br>... смотреть

МАТЕМАТИКА

Французское – mathematique.Немецкое – Mathematik.Греческое – mathematike (познающий, математический).Термин «математика» используется в русском языке с... смотреть

МАТЕМАТИКА

mathematics* * *матема́тика м.mathematicsвы́сшая матема́тика — higher mathematicsвычисли́тельная матема́тика — computing mathematicsприкладна́я матем... смотреть

МАТЕМАТИКА

математика [гр. mathernatike < mathema познание, наука] - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. "чистая мат... смотреть

МАТЕМАТИКА

ж.mathématiques f plвысшая математика — mathématiques supérieuresприкладная математика — mathématiques appliquéesСинонимы: алгебра, арифметика, геомет... смотреть

МАТЕМАТИКА

ж.matemática f, matemáticas f plвысшая математика — matemáticas superioresприкладная математика — matemáticas aplicadas (mixtas)чистая математика — mat... смотреть

МАТЕМАТИКА

математика сущ.жен.неод. (2) ед.род. учителей грузинской словесности, математики, географии, российской словесности и языка российскогоПр20. должна ... смотреть

МАТЕМАТИКА

-и, ж. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.Высшая математика. Элементарная математика.[греч. μαθηματική]... смотреть

МАТЕМАТИКА

наук. матема́тика - высшая математика - вычислительная математика - дискретная математика - конечная математика - конструктивная математика - континуальная математика - машинная математика - практическая математика - прикладная математика - страховая математика - теоретическая математика - элементарная математика Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология... смотреть

МАТЕМАТИКА

імен. жін. роду, тільки одн.наука про кiлькiснi спiввiдношення та просторовi форми дiйсного свiтуматематикавід слова: математикімен. чол. роду, жив.ма... смотреть

МАТЕМАТИКА

корень - МАТЕМАТ; суффикс - ИК; окончание - А; Основа слова: МАТЕМАТИКВычисленный способ образования слова: Суффиксальный∩ - МАТЕМАТ; ∧ - ИК; ⏰ - А; Сл... смотреть

МАТЕМАТИКА

Заимств. в начале XVIII в. из лат. яз., где mathematica &LT; греч. mathematikē (technē) «математическое (искусство)», суф. производного от mathema «нау... смотреть

МАТЕМАТИКА

Rzeczownik математика f matematyka f математик m matematyk m

МАТЕМАТИКА

(греч. mathematike, от mathema — познание, наука) — 1) наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира; 2) педагогическая образовательная область, включающая учебные предметы и интегрированные курсы по алгебре, геометрии, началам анализа, комплексный курс математики, статистику, теорию вероятностей, логику и др. математические курсы.... смотреть

МАТЕМАТИКА

матема́тика, матема́тики, матема́тики, матема́тик, матема́тике, матема́тикам, матема́тику, матема́тики, матема́тикой, матема́тикою, матема́тиками, матема́тике, матема́тиках (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») . Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология... смотреть

МАТЕМАТИКА

сущ. жен. рода, только ед. ч.математикаот слова: математик сущ. муж. рода; одуш.математик

МАТЕМАТИКА

математикаמָתֶמָטִיקָה נ'* * *מתימטיקהСинонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

ж. mathématiques f pl высшая математика — mathématiques supérieures прикладная математика — mathématiques appliquées

МАТЕМАТИКА

ж. matematica f - высшая математика- дискретная математика- классическая математика- прикладная математика- современная математика- чистая математика-... смотреть

МАТЕМАТИКА

mathematics– высшая математика– вычислительная математика– математика чистая– прикладная математика– чистая математика– элементарная математикаСинонимы... смотреть

МАТЕМАТИКА

Ударение в слове: матем`атикаУдарение падает на букву: аБезударные гласные в слове: матем`атика

МАТЕМАТИКА

matematik* * *жmatematik (-ği)Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

Матема́тика. Заимств. в начале XVIII в. из лат. яз., где mathematica < греч. mathematikē (technē) «математическое (искусство)», суф. производного от ma... смотреть

МАТЕМАТИКА

(от греч. mathematike) - англ. mathematics; нем. Mathematik. Система наук, изучающих количественные отношения и пространственные формы реальности. Antinazi.Энциклопедия социологии,2009 Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА математики, мн. нет, ж. (греч. mathematike). Цикл наук, изучающих величины и пространственные формы (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и т. д.). Чистая математика. Прикладная математика. Высшая математика.<br><br><br>... смотреть

МАТЕМАТИКА

f.mathematicsСинонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

математика, матем′атика, -и, ж. Наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы. Высшая м. Прикладная м.прил. математическ... смотреть

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА, -и, ж. Наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы. Высшая м. Прикладная м. || прилагательное математический, -ая, -ое. Математическая задача. М. ум. (перен.: точный, ясный).... смотреть

МАТЕМАТИКА

Mathematicsвища математика — higher mathematicsчиста (прикладна) математика — pure (applied) mathematics

МАТЕМАТИКА

• matematika • számtan Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

-и, ж. Наука про кількісні співвідношення та просторові форми дійсного світу. Вища математика.

МАТЕМАТИКА

Математика ■ Сушит сердце.Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

жmatemática fСинонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

матема́тика[матеиматиека]-кие, д. і м. -тиец'і

МАТЕМАТИКА

матем'атика, -иСинонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

жMathematik fСинонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

Одна з найдавніших галузей знань, відома колись як наука про числа та геометричні фігури; найістотнішою рисою м. є те, що вона слугує основою дедукційн... смотреть

МАТЕМАТИКА

ж. matematica прикладная математика — matematica applicata Итальяно-русский словарь.2003. Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология... смотреть

МАТЕМАТИКА

(1 ж)Синонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

матема'тика, матема'тики, матема'тики, матема'тик, матема'тике, матема'тикам, матема'тику, матема'тики, матема'тикой, матема'тикою, матема'тиками, матема'тике, матема'тиках... смотреть

МАТЕМАТИКА

ж.mathematics- вычислительная математика- прикладная математика

МАТЕМАТИКА

математика ж Mathematik fСинонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

[matematyka]ж.matematyka

МАТЕМАТИКА

数学 shùxuéСинонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

математикаMathematikСинонимы: алгебра, арифметика, геометрия, матика, планиметрия, стереометрия, топология

МАТЕМАТИКА

сущ.жен.математика (япаласен хисеп ҫыхӑнӑвӗсемпе калӑпӑш формисене тӗпчекен ӑслӑлӑх); высшая математика аслӑ математика; школьная математика шкул математики... смотреть

МАТЕМАТИКА

{matemat'i:k}1. matematik{²m'at:e}2. matte

МАТЕМАТИКА

- (от греч. mathematike) -англ. mathematics; нем. Mathematik. Система наук, изучающих количественные отношения и пространственные формы реальности.... смотреть

МАТЕМАТИКА

математика = ж. mathematics; высшая математика higher mathematics; математический mathematical; математическое обеспечение software.

МАТЕМАТИКА

ж.mathematics- высшая математика

МАТЕМАТИКА

математика матема́тикаЧерез польск. matematyka или лат. mathematica (ars) из греч. μαθηματική.

МАТЕМАТИКА

-и, ж. Наука про кількісні співвідношення та просторові форми дійсного світу. Вища математика.

МАТЕМАТИКА

математика; ж. (гр., від знання, наука) наука про кількісні співвідношення і просторові форми дійсного світу.

МАТЕМАТИКА

ж. математика (чоңдук жана форма жөнүндөгү илим: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия ж.б.).

МАТЕМАТИКА

f; ks математикmatematiikka

МАТЕМАТИКА

علم رياضي ، رياضيات

МАТЕМАТИКА

Математика- mathesis, -is (-eos) f; mathematica, -orum n; disciplina mathematica;

МАТЕМАТИКА

математика || математический; нуӧдны математика рыт — провести математический вечер

МАТЕМАТИКА

матэматыка, -кі- математика вычислительная- математика дискретная

МАТЕМАТИКА

Через польск. matematyka или лат. mathematica (ars) из греч. .

МАТЕМАТИКА

математика вычислительная математика есептеу математикасы

МАТЕМАТИКА

Матема́тикаhisabati (-)

МАТЕМАТИКА

【阴】 数学

МАТЕМАТИКА

Математик, тооны шинжлэх ухаан

МАТЕМАТИКА

Матема́тика, -ки, -ці

МАТЕМАТИКА

математика. Высшая -ка - вища математика.

МАТЕМАТИКА

mathématiques

МАТЕМАТИКА

математика матем`атика, -и

МАТЕМАТИКА

{матеима́тиека} -кие, д. і м. -тиеці.

МАТЕМАТИКА

Riyaziyat; matematika

МАТЕМАТИКА

матема́тика іменник жіночого роду

МАТЕМАТИКА

Матэматыка

МАТЕМАТИКА

рус. математика см. риязият

МАТЕМАТИКА

математ||икаж τά μαθηματικά.

МАТЕМАТИКА

wiskunde • eo: matematiko

МАТЕМАТИКА

математика ж τα μαθηματικά

МАТЕМАТИКА

матэматыка, жен.

МАТЕМАТИКА

М мн. нет riyaziyyat.

МАТЕМАТИКА

риязият; математика

МАТЕМАТИКА

math, mathematics

МАТЕМАТИКА

-и ż matematyka

МАТЕМАТИКА

наук. математика

МАТЕМАТИКА

ж. Mathematik f.

МАТЕМАТИКА

{N} մաթեմատիկա

МАТЕМАТИКА

матэматыка, -кі

МАТЕМАТИКА

ж.матема́тика

МАТЕМАТИКА

• matematika

МАТЕМАТИКА

математика

МАТЕМАТИКА

матэматыка

МАТЕМАТИКА

матэматыка

МАТЕМАТИКА

матэматыка

МАТЕМАТИКА

მათემატიკა

МАТЕМАТИКА

Матэматыка

МАТЕМАТИКА

математика

T: 113